Astronomía

¿Cuáles son los mayores problemas de los modelos GR numéricos de elementos finitos?

¿Cuáles son los mayores problemas de los modelos GR numéricos de elementos finitos?

Como sé, por ejemplo, el modelado del colapso de una estrella de neutrones (en un agujero negro) no se hizo correctamente hasta ahora.

¿Por qué? Sí, lo sé, las ecuaciones de campo de Einstein no son realmente fáciles de resolver. Pero, por ejemplo, la situación es muy similar en el caso del QCD, pero ya existen resultados fructíferos (http://physicsworld.com/cws/article/news/2008/nov/21/proton-and-neutron -masas-calculadas-a partir-de-primeros-principios).

¿Hay algún obstáculo teórico en el camino? ¿O simplemente no teníamos suficientes computadoras / físicos / programadores rápidos durante muchos años hasta ahora?


Si puede proporcionar ejemplos de métodos numéricos en GR que ha visto / escuchado, eso ayudaría a enfocar la pregunta.

Del artículo al que enlazaste: "La técnica realiza un seguimiento de una gran cantidad de quarks y gluones al describir el espacio y el tiempo dentro de un protón con un conjunto de puntos que forman una red 4D". Esto casi llega al problema principal de la relatividad numérica. No existe una cuadrícula computacional natural en la que simular el espacio-tiempo. Todo el juego con GR es que la gravedad es el espacio-tiempo, así que primero tienes que simular el espacio-tiempo y luego tienes que simular los objetos (estrellas de neutrones, agujeros negros, ondas gravitacionales) en la parte superior.

A medida que avanzan los enlaces a continuación, es muy difícil crear una cuadrícula computacional consistente, ya que el espacio-tiempo físico que intentas simular para un agujero negro tiene cosas "divertidas" como singularidades, o un horizonte de eventos que no podemos realmente sé lo que está pasando.

Creo que este artículo: http://astronomy.com/magazine/2016/02/putting-einstein-to-the-test?page=1

hace un buen trabajo resumiendo el campo, y es bastante accesible.

Para obtener algo más riguroso, consulte: http://arxiv.org/pdf/1010.5260v2.pdf Ese documento aborda algunas de las matemáticas detrás del artículo vinculado anteriormente.


Investigación experimental y numérica sobre la simulación de soldadura de una muestra de placa de acero rígida larga

Las pruebas de soldadura de filete de juntas en T de gas inerte de metal se realizan en placas de acero rectangulares más largas que la muestra estándar.

Se adoptan modelos de elementos finitos termoelastoplásticos no lineales.

Se propone un modelo simplificado de las propiedades del material, basado en los valores a temperatura ambiente.

Se observa una buena concordancia entre los resultados numéricos y las mediciones experimentales.

Se concluye que los parámetros de soldadura tienen más influencia en las respuestas estructurales que la dimensión de la placa.


Técnicas de CFD: conceptos básicos

5.7 Resumen

Repasemos algunas de las técnicas computacionales básicas que se han examinado en este capítulo para resolver las ecuaciones que gobiernan la dinámica de fluidos.

La primera etapa para obtener la solución computacional implica la conversión de las ecuaciones gobernantes en un sistema de ecuaciones algebraicas. Esto generalmente se conoce como etapa de discretización. Hemos discutido algunos de los herramientas de discretización tales como los métodos de diferencias finitas y volumen finito, que forman la base para comprender las características básicas de discretización. Ambos métodos abundan en muchas aplicaciones de CFD.

La segunda etapa implica resolver numéricamente el sistema de ecuaciones algebraicas, que se puede lograr mediante la métodos directos o el métodos iterativos. Se han descrito métodos directos básicos como la eliminación gaussiana y el algoritmo de Thomas, de los cuales este último es sumamente económico para un sistema de matriz tridiagonal y es un algoritmo estándar para la solución de ecuaciones de flujo de fluidos en una malla estructurada. También se describen métodos iterativos simples como los métodos punto por punto de Jacobi y Gauss-Seidel. Sin embargo, los problemas de CFD son generalmente multidimensionales y se componen de un gran sistema de ecuaciones por resolver. A menudo se aplican métodos iterativos eficientes como ADI o Stone & # x27s SIP para resolver este sistema de ecuaciones. Para mejorar aún más la convergencia de la solución computacional, se emplean métodos de gradiente conjugado de condiciones previas o métodos de redes múltiples para acelerar el proceso de iteración.

El lector puede volver a la figura 5.1 para ver cómo encajan estas dos etapas dentro del proceso de descripción general del procedimiento de solución computacional. Dentro del bloque que se compone de métodos numéricos, se presenta un algoritmo iterativo para el cálculo de campos de presión y velocidad basado en el esquema SIMPLE para un flujo incompresible. La filosofía básica detrás de este esquema popular es adivinar inicialmente un campo de presión en las ecuaciones de momento discretizado para producir las velocidades intermedias. Posteriormente se resuelve la ecuación de continuidad en forma de corrección de presión, que luego se utiliza para corregir los campos de velocidad y presión. Estos campos supuestos se mejoran continuamente hasta que se alcanza la convergencia. El lector puede consultar la Fig. 5.13 para obtener una descripción más exhaustiva de los pasos iterativos que están involucrados dentro del esquema SIMPLE.

Finalmente, no hemos discutido en profundidad la evaluación de convergencia. En la práctica, las ecuaciones algebraicas que resultan del proceso de discretización producen la solución de flujo en cada punto nodal en un diseño de cuadrícula finito. Se espera que, a partir de los errores de truncamiento dados en la Sección 5.2.1, se puedan obtener soluciones más precisas mediante el refinamiento de la cuadrícula. Para un problema inestable, esto se puede lograr empleando intervalos de tiempo más pequeños. Sin embargo, para un determinado requisito precisión de la solución, puede ser más económico resolver aproximaciones de orden superior de las ecuaciones derivadas de primer y segundo orden que gobiernan el flujo de fluido en una cuadrícula gruesa en lugar de utilizar una aproximación de orden inferior en una cuadrícula más fina. Esto conduce al concepto de eficiencia computacional. Otras cuestiones como la consistencia de la solución y estabilidad del procedimiento numérico son también consideraciones importantes para la convergencia de la solución computacional. Todos estos serán investigados en el próximo capítulo.


Contenido

El término científico computacional se usa para describir a alguien experto en computación científica. Esta persona suele ser un científico, un ingeniero o un matemático aplicado que aplica la computación de alto rendimiento de diferentes formas para avanzar en el estado del arte en sus respectivas disciplinas aplicadas en física, química o ingeniería.

La ciencia computacional ahora se considera comúnmente un tercer modo de ciencia, que complementa y agrega experimentación / observación y teoría (ver imagen a la derecha). [2] Aquí, definimos un sistema como una fuente potencial de datos, [3] un experimento como un proceso de extracción de datos de un sistema ejerciéndolo a través de sus entradas [4] y un modelo (METRO) para un sistema (S) y un experimento (mi) como cualquier cosa a la que se pueda aplicar E para responder preguntas sobre S. [5] Un científico computacional debería ser capaz de:

  • reconociendo problemas complejos
  • adecuadamente conceptualizando el sistema que contiene estos problemas
  • diseñar un marco de algoritmos adecuados para el estudio de este sistema: el simulación
  • eligiendo un adecuado infraestructura informática (computación en paralelo / computación en red / supercomputadoras)
  • por la presente, maximizando el potencia de cálculo de la simulación
  • evaluar en qué nivel la salida de la simulación se asemeja a los sistemas: el modelo es validado
  • ajustar la conceptualización del sistema en consecuencia
  • ciclo repetitivo hasta obtener un nivel adecuado de validación: los científicos computacionales confían en que la simulación genere resultados adecuadamente realistas para el sistema, en las condiciones estudiadas

De hecho, se ha dedicado un esfuerzo sustancial en ciencias computacionales al desarrollo de algoritmos, la implementación eficiente en lenguajes de programación y la validación de resultados computacionales. Se puede encontrar una colección de problemas y soluciones en ciencia computacional en Steeb, Hardy, Hardy y Stoop (2004). [6]

Los filósofos de la ciencia abordaron la cuestión de hasta qué punto la ciencia computacional califica como ciencia, entre ellos Humphreys [7] y Gelfert. [8] Abordan la cuestión general de la epistemología: cómo obtenemos conocimiento de tales enfoques de la ciencia computacional. Tolk [9] utiliza estos conocimientos para mostrar las limitaciones epistemológicas de la investigación de simulación basada en computadora. Como la ciencia computacional usa modelos matemáticos que representan la teoría subyacente en forma ejecutable, en esencia, aplican modelado (construcción de teoría) y simulación (implementación y ejecución). Si bien la simulación y la ciencia computacional son nuestra forma más sofisticada de expresar nuestro conocimiento y comprensión, también vienen con todas las restricciones y límites que ya se conocen para las soluciones computacionales.

Los dominios problemáticos para la ciencia computacional / informática científica incluyen:

Ciencia computacional predictiva Editar

La ciencia computacional predictiva es una disciplina científica que se ocupa de la formulación, calibración, solución numérica y validación de modelos matemáticos diseñados para predecir aspectos específicos de eventos físicos, dadas las condiciones iniciales y de frontera y un conjunto de parámetros caracterizadores e incertidumbres asociadas. [10] En casos típicos, el enunciado predictivo se formula en términos de probabilidades. Por ejemplo, dado un componente mecánico y una condición de carga periódica, “la probabilidad es (digamos) del 90% de que el número de ciclos de falla (Nf) esté en el intervalo N1 & ltNf & ltN2”. [11]

Sistemas urbanos complejos Editar

En 2015, más de la mitad de la población mundial vive en ciudades. A mediados del siglo XXI, se estima que el 75% de la población mundial será urbana. Este crecimiento urbano se centra en las poblaciones urbanas de los países en desarrollo, donde los habitantes de las ciudades se duplicarán con creces, pasando de 2.500 millones en 2009 a casi 5.200 millones en 2050. Las ciudades son sistemas masivos y complejos creados por humanos, compuestos por humanos y gobernados por humanos. . Tratar de predecir, comprender y de alguna manera dar forma al desarrollo de las ciudades en el futuro requiere un pensamiento complejo y requiere modelos computacionales y simulaciones para ayudar a mitigar los desafíos y posibles desastres. El enfoque de la investigación en sistemas urbanos complejos es, a través del modelado y la simulación, construir una mayor comprensión de la dinámica de la ciudad y ayudar a prepararse para la urbanización venidera.

Finanzas computacionales Editar

En los mercados financieros actuales, un gran número de participantes del mercado que interactúan en diferentes ubicaciones y zonas horarias negocian enormes volúmenes de activos interdependientes. Su comportamiento es de una complejidad sin precedentes y la caracterización y medición del riesgo inherente a este conjunto de instrumentos tan diverso se basa típicamente en complicados modelos matemáticos y computacionales. Resolver estos modelos exactamente en forma cerrada, incluso a un solo nivel de instrumento, generalmente no es posible y, por lo tanto, tenemos que buscar algoritmos numéricos eficientes. Esto se ha vuelto aún más urgente y complejo recientemente, ya que la crisis crediticia ha demostrado claramente el papel de los efectos en cascada que van desde instrumentos únicos a través de carteras de instituciones únicas hasta incluso la red comercial interconectada. Comprender esto requiere un enfoque holístico y de múltiples escalas donde los factores de riesgo interdependientes, como el riesgo de mercado, crédito y liquidez, se modelen simultáneamente y en diferentes escalas interconectadas.

Biología computacional Editar

Los nuevos y emocionantes desarrollos en biotecnología están revolucionando la biología y la investigación biomédica. Ejemplos de estas técnicas son secuenciación de alto rendimiento, PCR cuantitativa de alto rendimiento, imágenes intracelulares, hibridación in situ de la expresión génica, técnicas de imágenes tridimensionales como microscopía de fluorescencia en láminas de luz y proyección óptica, (micro) tomografía por computadora. Dadas las enormes cantidades de datos complicados que generan estas técnicas, su interpretación significativa, e incluso su almacenamiento, constituyen desafíos importantes que exigen nuevos enfoques. Más allá de los enfoques bioinformáticos actuales, la biología computacional necesita desarrollar nuevos métodos para descubrir patrones significativos en estos grandes conjuntos de datos. La reconstrucción de redes de genes basada en modelos puede utilizarse para organizar los datos de expresión génica de forma sistemática y para orientar la recopilación de datos en el futuro. Un desafío importante aquí es comprender cómo la regulación genética está controlando procesos biológicos fundamentales como la biomineralización y la embriogénesis. Los subprocesos como la regulación de genes, las moléculas orgánicas que interactúan con el proceso de deposición de minerales, los procesos celulares, la fisiología y otros procesos a nivel tisular y ambiental están vinculados. En lugar de estar dirigidos por un mecanismo de control central, la biomineralización y la embriogénesis se pueden ver como un comportamiento emergente resultante de un sistema complejo en el que varios subprocesos en escalas temporales y espaciales muy diferentes (que van desde nanómetros y nanosegundos hasta metros y años) son conectado a un sistema multiescala. Una de las pocas opciones disponibles para comprender estos sistemas es desarrollar un modelo de múltiples escalas del sistema.

Teoría de sistemas complejos Editar

Utilizando la teoría de la información, la dinámica de no equilibrio y las simulaciones explícitas, la teoría de sistemas computacionales intenta descubrir la verdadera naturaleza de los sistemas adaptativos complejos.

Ciencias computacionales en ingeniería Editar

La ciencia y la ingeniería computacionales (CSE) es una disciplina relativamente nueva que se ocupa del desarrollo y la aplicación de modelos y simulaciones computacionales, a menudo junto con la computación de alto rendimiento, para resolver problemas físicos complejos que surgen en el análisis y el diseño de ingeniería (ingeniería computacional). como fenómenos naturales (ciencia computacional). La CSE se ha descrito como el "tercer modo de descubrimiento" (junto a la teoría y la experimentación). [12] En muchos campos, la simulación por computadora es integral y, por lo tanto, esencial para los negocios y la investigación. La simulación por computadora brinda la capacidad de ingresar a campos que son inaccesibles para la experimentación tradicional o donde la realización de investigaciones empíricas tradicionales es prohibitivamente costosa. La CSE no debe confundirse con la informática pura ni con la ingeniería informática, aunque en CSE se utiliza un amplio dominio de la primera (p. Ej., Ciertos algoritmos, estructuras de datos, programación paralela, computación de alto rendimiento) y algunos problemas en la segunda pueden surgir. modelado y resuelto con métodos CSE (como área de aplicación).

Los algoritmos y métodos matemáticos utilizados en la ciencia computacional son variados. Los métodos comúnmente aplicados incluyen:

    , [13] [14] [15] [16] incluyendo el cálculo simbólico en campos como estadística, resolución de ecuaciones, álgebra, cálculo, geometría, álgebra lineal, análisis de tensor (álgebra multilineal), optimización, [17] [18] [ 19] [20] incluidas las derivadas de cálculo por diferencias finitas
    • Aplicación de series de Taylor como derivadas de series convergentes y asintóticas por diferenciación automática (AD) para resolver PDE [21] [22]
    • Aproximaciones de diferencias de orden alto mediante la serie de Taylor y la extrapolación de Richardson [23] en una malla uniforme: regla del rectángulo (también llamada regla del punto medio), regla del trapezoide, regla de Simpson para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias [24]

    Tanto históricamente como hoy, Fortran sigue siendo popular para la mayoría de las aplicaciones de la informática científica. [32] [33] Otros lenguajes de programación y sistemas de álgebra computacional comúnmente usados ​​para los aspectos más matemáticos de las aplicaciones de computación científica incluyen GNU Octave, Haskell, [32] Julia, [32] Maple, [33] Mathematica, [34] [35 ] [36] [37] [38] MATLAB, [39] [40] [41] Python (con biblioteca SciPy de terceros [42] [43] [44]), Perl (con biblioteca PDL de terceros), [ cita necesaria ] R, [45] Scilab, [46] [47] y TK Solver. Los aspectos más intensivos en computación de la computación científica a menudo usarán alguna variación de C o Fortran y bibliotecas de álgebra optimizadas como BLAS o LAPACK. Además, la computación paralela se utiliza mucho en la computación científica para lograr soluciones de grandes problemas en un período de tiempo razonable. En este marco, el problema se divide en muchos núcleos en un solo nodo de CPU (como con OpenMP), se divide en muchos nodos de CPU conectados en red (como con MPI), o se ejecuta en una o más GPU (normalmente usando CUDA u OpenCL).

    Los programas de aplicación de la ciencia computacional a menudo modelan las condiciones cambiantes del mundo real, como el clima, el flujo de aire alrededor de un avión, las distorsiones de la carrocería de un automóvil en un accidente, el movimiento de las estrellas en una galaxia, un dispositivo explosivo, etc. Tales programas podrían crear una 'malla lógica 'en la memoria de la computadora donde cada elemento corresponde a un área en el espacio y contiene información sobre ese espacio relevante para el modelo. Por ejemplo, en los modelos meteorológicos, cada elemento podría ser un kilómetro cuadrado con la elevación de la tierra, la dirección actual del viento, la humedad, la temperatura, la presión, etc. El programa calcularía el siguiente estado probable en función del estado actual, en pasos de tiempo simulados, resolviendo ecuaciones diferenciales que describen cómo funciona el sistema y luego repiten el proceso para calcular el siguiente estado.

    En el año 2001, el Congreso Internacional de Ciencias Computacionales (ICCS) se organizó por primera vez. Desde entonces se organiza anualmente. ICCS es un Un rango conferencia en clasificación CORE.

    El internacional Revista de ciencia computacional publicó su primer número en mayo de 2010. [48] [49] [50] En 2012 se lanzó una nueva iniciativa, la Revista de software de investigación abierta. [51] En 2015, ReScience C [52] dedicado a la replicación de resultados computacionales se inició en GitHub.

    En algunas instituciones, una especialización en computación científica se puede obtener como "menor" dentro de otro programa (que puede estar en diferentes niveles). Sin embargo, cada vez hay más programas de licenciatura, maestría y doctorado en ciencias computacionales. El programa de maestría en ciencias computacionales de la Universidad de Amsterdam y la Vrije Universiteit en ciencias computacionales se ofreció por primera vez en 2004. En este programa, los estudiantes:

    • aprender a construir modelos computacionales a partir de observaciones de la vida real
    • Desarrollar habilidades para convertir estos modelos en estructuras computacionales y realizar simulaciones a gran escala.
    • aprender la teoría que proporcionará una base firme para el análisis de sistemas complejos
    • aprenda a analizar los resultados de las simulaciones en un laboratorio virtual utilizando algoritmos numéricos avanzados.

    La Universidad George Mason fue uno de los primeros pioneros en ofrecer un programa de doctorado multidisciplinario en Ciencias Computacionales e Informática en 1992 que se centró en una serie de áreas de especialidad que incluyen bioinformática, química computacional, sistemas terrestres y cambios globales, matemáticas computacionales, física computacional. , ciencias espaciales y estadística computacional

    La Facultad de Ciencias Computacionales e Integrativas de la Universidad Jawaharlal Nehru (antigua Escuela de Tecnología de la Información [53]) también ofrece un dinámico programa de maestría en ciencias computacionales con dos especialidades, a saber: Biología Computacional y Sistemas Complejos. [54]


    Elmer: un software de elementos finitos de código abierto

    Hoy en día hay algunos paquetes de Elementos Finitos de Código Abierto disponibles en línea, solo por citar algunos: Calculix, Salome-Meca (con Code Aster), Z88 Aurora, Elmer, etc.

    La brecha entre el software de pago (Ansys, Comsol, Abaqus, LS-DYNA, & ​​# 8230) y los paquetes de código abierto sigue siendo grande, especialmente cuando se trata de la GUI y el posprocesamiento. A veces también es difícil encontrar documentación o ejemplos útiles, lo que hace que la curva de aprendizaje sea bastante empinada. Además, cuando se trabaja con software de SO, donde el código no ha pasado por tantos pasos de validación, es esencial estar al tanto de lo que está haciendo realmente el software y tener siempre un ojo crítico al analizar los resultados. Estas razones hacen que los paquetes Finte Elements Free no sean tan populares.

    Sin embargo, el software Free FE, hoy en día ha alcanzado una etapa bastante avanzada siendo perfectamente capaz de resolver modelos generales. El software de código libre se vuelve especialmente útil cuando se aborda un caso poco común. Algunos modelos especiales no pueden ser implementados por software comercial ya que no se han previsto las condiciones requeridas. Cuando se trabaja con SO, es posible ponerse en contacto con los desarrolladores de código actuales e incluso pedirles que desarrollen herramientas especiales para su aplicación. Esto es casi imposible cuando se trata de grandes paquetes de software de pago.

    Sistemas de medición ForceBoard

    Sistema de medición de fuerza de escritorio único para pruebas de fricción, desgaste y fatiga


    Matemáticas (MATEMÁTICAS)

    Este curso proporciona apoyo e instrucción adicionales para los estudiantes inscritos en MATH & # 1601203 que deben tomarlo de acuerdo con los requisitos de ubicación estipulados para ese curso. El crédito obtenido en este curso no se aplicará al total de horas requeridas para un título. Una hora de laboratorio. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1600002L. Laboratorio universitario de álgebra II. 2 horas.

    Este curso proporciona apoyo e instrucción adicionales para los estudiantes inscritos en MATH & # 1601203 que deben tomarlo de acuerdo con los requisitos de ubicación estipulados para ese curso. El crédito obtenido en este curso no se aplicará al total de horas requeridas para un título. Dos horas de laboratorio. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1600131L. Laboratorio de Razonamiento Cuantitativo. 1 hora.

    Este curso proporciona apoyo e instrucción adicionales para los estudiantes inscritos en MATH & # 1601313 que deben tomarlo según los requisitos de ubicación estipulados para ese curso. El crédito obtenido en este curso no se aplicará al total de horas requeridas para un título. Una hora de laboratorio. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1601203. Álgebra universitaria (equivalencia de ACTS = MATH 1103). 3 horas.

    Los temas incluyen la solución y aplicación de ecuaciones lineales y cuadráticas y funciones de desigualdades, gráficas y teoría de ecuaciones, soluciones matriciales de sistemas de ecuaciones y propiedades básicas de matrices. Requisito previo: una puntuación de al menos 46 en ALEKS, al menos 22 en el componente de matemáticas del examen ACT, al menos 540 en el componente de matemáticas del nuevo SAT o el antiguo SAT, al menos 63 en el Accuplacer Classic College Math, al menos 263 en Accuplacer Next Generation QAS, al menos 254 en Accuplacer NG AAF, o al menos 66 en Compass Algebra. Estudiantes que obtienen al menos 30 en ALEKS, al menos 19 en el componente de matemáticas del examen ACT, al menos 510 en el componente de matemáticas del nuevo SAT o 460 en el componente de matemáticas del antiguo SAT, al menos 42 en el Accuplacer Classic College Math, al menos 255 en Accuplacer Next Generation QAS, al menos 235 en Accuplacer NG AAF, o al menos 41 en Compass Algebra también deben registrarse en MATH & # 1600001L como correquisito. Estudiantes que obtienen una puntuación inferior a 30 en ALEKS, inferior a 19 en el componente de matemáticas del examen ACT, inferior a 510 en el componente de matemáticas del nuevo SAT o 460 en el componente de matemáticas del antiguo SAT, inferior a 42 en el Accuplacer Classic College Math, a continuación 255 en el Accuplacer Next Generation QAS, por debajo de 235 en el Accuplacer NG AAF, o por debajo de 41 en el Compass Algebra también debe registrarse para MATH & # 1600002L como un correquisito. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1601213. Trigonometría plana (Equivalencia de ACTS = MATH 1203). 3 horas.

    Temas básicos de trigonometría que incluyen identidades, fórmulas y sistema de coordenadas polares. Se permitirá crédito solo para uno de los siguientes: MATH & # 1601213 o MATH & # 1601284C. Requisito previo: MATH & # 1601203 o MATH 1204 con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 60 en la prueba de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 26 en el componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos al menos 600 en el componente matemático del antiguo SAT o 620 en el componente matemático del nuevo SAT. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1601284C. Matemáticas de precálculo (Equivalencia de ACTS = MATH 1305). 4 horas.

    Temas de álgebra y trigonometría. Para ser tomado por estudiantes que esperan tomar MATH & # 1602554. Co-requisito: componente de taladro. Requisito previo: MATH & # 1601203 o MATH 1204 con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 60 en la prueba de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 26 en el componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos al menos 600 en el componente matemático del antiguo SAT o 620 en el componente matemático del nuevo SAT. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1601313. Razonamiento cuantitativo (Equivalencia de ACTS = MATH 1113). 3 horas.

    Razonamiento sobre información cuantitativa y uso de herramientas y modelos matemáticos como ciudadanos, consumidores, emprendedores y empleados en la compleja sociedad tecnológica actual. Los temas incluyen modelado con funciones cantidad, medición e índices, conteo financiero, probabilidad, probabilidades y riesgo Requisito previo: una puntuación de al menos 40 en ALEKS, al menos 19 en el examen ACT, al menos 510 en el componente de matemáticas del nuevo SAT, en al menos 460 en el componente matemático del antiguo SAT, al menos 42 en el Accuplacer Classic College Math, al menos 255 en el Accuplacer Next Generation QAS, al menos 235 en Accuplacer Next Generation AAF, o al menos 41 en Compass Algebra. Los estudiantes que obtengan una puntuación inferior a 40 en ALEKS, inferior a 19 en el componente de matemáticas del examen ACT, inferior a 510 en el componente de matemáticas del nuevo SAT, inferior a 460 en el componente de matemáticas del antiguo SAT, inferior a 42 en el Accuplacer Classic College Math, por debajo de 255 en Accuplacer Next Generation QAS, por debajo de 235 en Accuplacer Next Generation AAF, o por debajo de 41 en Compass Algebra también debe registrarse en MATH & # 1600131L como un correquisito. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1601514. Cálculo con Álgebra y Trigonometría I. 4 horas.

    Los temas de álgebra, trigonometría y precálculo se integran con cálculo diferencial elemental. Parte de una secuencia de dos semestres con MATH & # 1602514 estos dos cursos juntos son equivalentes a MATH & # 1601284C y MATH & # 1602554C. MATEMÁTICAS & # 1601514 POR SÍ MISMO NO EQUIVALENTE A MATEMÁTICAS & # 1601284C O MATEMÁTICAS & # 1602554C. Este curso debe tomarse con MATH & # 1602514. Destinado a estudiantes que se ubican en MATH & # 1601284C, pero que se beneficiarían de una exposición anterior a los conceptos de cálculo. Cerrado para estudiantes con crédito para MATH & # 1602554C. Requisito previo: MATH & # 1601203 o MATH 1204 con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 60 en la prueba de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 26 en el componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos al menos 600 en el componente matemático del antiguo SAT o 620 en el componente matemático del nuevo SAT. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1602033. Pensamiento matemático. 3 horas.

    Este curso presenta a los estudiantes una variedad de temas en matemáticas modernas. Los temas varían y pueden incluir teoría de grafos, teoría de juegos, sistemas de votación, fundamentos de la lógica, cardinalidad, combinatoria de geometría discreta, geometría de superficies, topología y simetría. Requisito previo: MATH & # 1601203 o MATH 1204 con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 60 en la prueba de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 26 en el componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos al menos 600 en el componente matemático del antiguo SAT o 620 en el componente matemático del nuevo SAT. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1602043. Encuesta de cálculo (Equivalencia de ACTS = MATH 2203). 3 horas.

    Temas seleccionados en cálculo elemental y geometría analítica para estudiantes de negocios, agricultura y ciencias sociales. Se permitirá crédito solo para uno de MATH & # 1602043 y MATH & # 1602554. Requisito previo: MATH & # 1601203 o MATH 1204 o MATH & # 1601213 o MATH & # 1601284C o MATH & # 1602053 con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 60 en la prueba de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 26 en la componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos 600 en el componente de matemáticas del antiguo SAT o 620 en el componente de matemáticas del nuevo SAT. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1602043C. Estudio de cálculo. 3 horas.

    Temas seleccionados en cálculo elemental y geometría analítica para estudiantes de negocios, agricultura y ciencias sociales. Se permitirá crédito para solo uno de MATH & # 1602043 y MATH & # 1602554. Co-requisito: componente de taladro. Requisito previo: MATH & # 1601203 o MATH 1204 o MATH & # 1601213 o MATH & # 1601284C o MATH & # 1602053 con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 60% en el examen de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 26 en el componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos 600 en el componente de matemáticas del antiguo SAT o 620 en el componente de matemáticas del nuevo SAT. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602043.

    MATEMÁTICAS & # 1602053. Matemáticas finitas. 3 horas.

    Temas seleccionados en probabilidad y estadística, revisión de matrices algebraicas y análisis gráfico de programación lineal para estudiantes de negocios, agricultura y ciencias sociales. Prerrequisito: MATH & # 1601203 o MATH 1204 o MATH & # 1601213 o MATH & # 1601284C o MATH & # 1602043 con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 60 en la prueba de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 26 en la componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos 600 en el componente de matemáticas del antiguo SAT o 620 en el componente de matemáticas del nuevo SAT. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1602053C. Matemáticas finitas. 3 horas.

    Temas seleccionados en probabilidad y estadística, revisión de matrices algebraicas y análisis gráfico de programación lineal para estudiantes de negocios, agricultura y ciencias sociales. Impartido con una conferencia de dos días a la semana y un simulacro de un día a la semana. Co-requisito: componente de taladro. Requisito previo: MATH & # 1601203 o MATH 1204 o MATH & # 1601213 o MATH & # 1601284C o MATH & # 1602043 con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 60 en la prueba de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 26 en la componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos 600 en el componente de matemáticas del antiguo SAT o 620 en el componente de matemáticas del nuevo SAT. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602053.

    MATEMÁTICAS & # 1602183. Razonamiento matemático en un mundo cuantitativo. 3 horas.

    El razonamiento matemático y estadístico se requiere en contextos de creciente complejidad y sofisticación. El propósito de este curso es hacer que los estudiantes posean el poder y el hábito mental para buscar información cuantitativa, criticarla, reflexionar sobre ella y aplicarla en su vida pública, personal y profesional. Requisito previo: MATH & # 1601203, MATH 1204 o MATH & # 1601313, o una puntuación de al menos 60 en la prueba de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 26 en el componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos 600 en el componente matemático del antiguo SAT o 620 en el componente matemático del nuevo SAT. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1602213. Levantamiento de Estructuras Matemáticas I. 3 Horas.

    Conjuntos y lógica, sistemas de numeración, sistemas y operaciones numéricas y teoría de números elementales. Requisito previo: Una calificación de C o mejor en cualquiera de MATH & # 1601203, MATH 1204, MATH & # 1601213, MATH & # 1601284C, MATH & # 1601313, MATH & # 1602043, MATH & # 1602053, MATH & # 1602183 o MATH & # 1602554, o una puntuación de al menos 80% en el examen de dominio de álgebra de la Universidad de Arkansas, o una puntuación de al menos 26 en el componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos 600 en el componente de matemáticas del antiguo SAT o 620 en matemáticas componente del nuevo SAT. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1602223. Estudio de estructuras matemáticas II. 3 horas.

    Geometría y medición, y estadística y probabilidad. Requisito previo: Una calificación de C o mejor en MATEMÁTICAS & # 1602213. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1602445. Cálculo I con revisión (Equivalencia de ACTS = MATH 2405). 5 horas.

    Derivada de funciones de una variable, aplicaciones de la derivada, introducción de la integral y aplicaciones. Se permitirá crédito solo para uno de MATH & # 1602445, MATH & # 1602554 o MATH & # 1602043. Requisito previo: MATH & # 1601213 con una calificación de C o mejor, o MATH & # 1601284C con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 70 en la prueba de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 28 en el componente de matemáticas de el examen ACT, o una puntuación de al menos 640 en el componente de matemáticas del antiguo SAT o 660 en el componente de matemáticas del nuevo SAT, o una puntuación de al menos 2 en el Examen de Colocación Avanzada de Cálculo AB o BC. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602554.

    MATEMÁTICAS & # 1602514. Cálculo con Álgebra y Trigonometría II. 4 horas.

    Continuación de MATH & # 1601514. Los temas de álgebra, trigonometría y precálculo se integran con cálculo diferencial elemental e integral. Completar MATH & # 1601514 y MATH & # 1602514 es equivalente a completar MATH & # 1601284C y MATH & # 1602554C. Este curso está destinado exclusivamente a estudiantes que hayan tomado previamente MATH & # 1601514. MATEMÁTICAS & # 1602514 POR SÍ MISMO NO EQUIVALENTE A MATEMÁTICAS & # 1601284C O MATEMÁTICAS & # 1602554C. Cerrado para estudiantes con crédito para MATH & # 1602554C. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1601514 con una calificación de C o mejor. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1602554. Cálculo I (Equivalencia de ACTS = MATH 2405). 4 horas.

    Derivada de funciones de una variable, aplicaciones de la derivada, introducción de la integral y aplicaciones. Se permitirá crédito para solo uno de MATH & # 1602554 y MATH & # 1602043. Requisito previo: MATH & # 1601213 con una calificación de C o mejor, o MATH & # 1601284C con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 76 en el examen de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 28 en el componente de matemáticas de el examen ACT, o una puntuación de al menos 640 en el componente de matemáticas del antiguo SAT o 660 en el componente de matemáticas del nuevo SAT, o una puntuación de al menos 2 en el Examen de Colocación Avanzada de Cálculo AB o BC. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1602554C. Cálculo I (Equivalencia de ACTS = MATH 2405). 4 horas.

    Derivada de funciones de una variable, aplicaciones de la derivada, introducción de la integral y aplicaciones. Se permitirá crédito solo para uno de MATH & # 1602554 y MATH & # 1602043. Co-requisito: componente de taladro. Requisito previo: MATH & # 1601213 con una calificación de C o mejor, o MATH & # 1601284C con una calificación de C o mejor, o una puntuación de al menos 76 en el examen de ubicación de matemáticas, o una puntuación de al menos 28 en el componente de matemáticas de el examen ACT, o una puntuación de al menos 640 en el componente de matemáticas del antiguo SAT o 660 en el componente de matemáticas del nuevo SAT, o una puntuación de al menos 2 en el Examen de Colocación Avanzada de Cálculo AB o BC. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602554.

    MATEMÁTICAS & # 1602554H. Cálculo de Honores I. 4 horas.

    Temas de geometría analítica y cálculo presentados de una manera rigurosa adecuada para un estudiante con honores. Es posible que los estudiantes no reciban crédito por MATH & # 1602043 y MATH & # 1602554. Requisito previo: Honores de pie o consentimiento departamental y una puntuación de al menos 30 en el componente de matemáticas del examen ACT, o una puntuación de al menos 680 en el componente de matemáticas del antiguo SAT o 710 en el componente de matemáticas del nuevo SAT. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602554.

    MATEMÁTICAS & # 1602564. Cálculo II (Equivalencia de ACTS = MATH 2505). 4 horas.

    Cálculo integral de una variable y serie infinita. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602554 con una calificación de C o mejor. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1602564C. Cálculo II. 4 horas.

    Cálculo integral de una variable y serie infinita. Tres horas de conferencia y dos horas de ejercicio (recitación) por semana. Co-requisito: componente de taladro. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602554 con una calificación de C o mejor. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602564.

    MATEMÁTICAS & # 1602564H. Cálculo de Honores II. 4 horas.

    Cálculo integral de una variable y serie infinita. Requisito previo: MATH & # 1602554 con una calificación de A, o MATH & # 1602554H con una calificación de A o B, o una puntuación de 5 en el examen de cálculo AP AB. (Normalmente ofrecido: primavera)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602564.

    MATEMÁTICAS & # 1602574. Cálculo III (Equivalencia de ACTS = MATH 2603). 4 horas.

    Cálculo diferencial e integral de varias variables y cálculo vectorial. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602564 con una calificación de C o mejor. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1602574C. Cálculo III. 4 horas.

    Cálculo diferencial e integral de varias variables y cálculo vectorial. Tres horas de conferencia y dos horas de ejercicio (recitación) por semana. Co-requisito: componente de taladro. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602564 con una calificación de C o mejor. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602574.

    MATEMÁTICAS & # 1602574H. Cálculo de Honores III. 4 horas.

    Cálculo diferencial e integral de varias variables y cálculo vectorial. Requisito previo: MATH & # 1602564 con una calificación de A, o MATH & # 1602564H con una calificación de A o B, o una puntuación de 5 en el examen AP BC Calculus. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602574.

    MATEMÁTICAS & # 1602584.Ecuaciones diferenciales elementales. 4 horas.

    Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, la transformada de Laplace y sistemas matriciales de ecuaciones diferenciales ordinarias. Requisito previo: MATH & # 1602564 o MATH & # 1602564C con una calificación de C o mejor. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1602584C. Ecuaciones diferenciales elementales. 4 horas.

    Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, la transformada de Laplace y sistemas matriciales de ecuaciones diferenciales ordinarias. Tres horas de conferencia y dos horas de ejercicio (recitación) por semana. Co-requisito: componente de taladro. Requisito previo: MATH & # 1602564 o MATH & # 1602564C con una calificación C o mejor. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602584.

    MATEMÁTICAS & # 1602584H. Honores Ecuaciones Diferenciales Elementales. 4 horas.

    Temas en ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas de ecuaciones diferenciales y la transformada de Laplace presentados con énfasis en modelado. Requisito previo: MATH & # 1602564 con una calificación de A, o MATH & # 1602564H con una calificación de A o B, o una puntuación de 5 en el examen AP BC Calculus. (Normalmente ofrecido: irregular)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1602584.

    MATEMÁTICAS & # 1602603. Matemáticas discretas. 3 horas.

    Estudio introductorio de conjuntos, relaciones, lógica, demostraciones, algoritmos, métodos de conteo, teoría de grafos, árboles y álgebras booleanas. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602554 con una calificación de C o mejor o el equivalente. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1602803. Transición a Matemáticas Avanzadas. 3 horas.

    Una introducción a los conceptos encontrados en matemáticas avanzadas. Se pone énfasis en el desarrollo de las habilidades de resolución de problemas del estudiante y la habilidad de comunicar correctamente conceptos abstractos. Temas para incluir teoría de conjuntos, lógica, relaciones, funciones e inducción matemática presentados en el contexto de problemas matemáticos intrigantes. Pre- o co-requisito: MATEMÁTICAS & # 1602554 o MATEMÁTICAS & # 1602554C. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1602903. Funciones, fundamentos y modelos. 3 horas.

    Un estudio en profundidad de los temas de la matemática de la escuela secundaria, enfatizando el desarrollo del concepto función, patrones de función en conjuntos de datos, conexiones entre los principales temas asociados con el currículo de la escuela secundaria y el uso apropiado de la tecnología. Pre-o co-requisito: MATEMÁTICAS & # 1602564 o MATEMÁTICAS & # 1602564C. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1603013. Introducción a la probabilidad. 3 horas.

    Una introducción a la probabilidad basada en el cálculo. Espacios de probabilidad discretos y técnicas de conteo, distribuciones de probabilidad discretas y continuas, variables aleatorias, muestras aleatorias, ley de números grandes, teorema del límite central. Requisito previo: MATH & # 1602564 o MATH & # 1602564C. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)
    Este curso está en la lista cruzada con STAT & # 1603013.

    MATEMÁTICAS & # 1603083. Álgebra lineal. 3 horas.

    Sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices y determinantes. Solo uno de MATH & # 1603083 y MATH & # 1603093 contará para crédito. Requisito previo: MATH & # 1602554 o MATH & # 1602043, con una calificación de C o mejor. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1603093. Álgebra lineal abstracta. 3 horas.

    Un curso basado en pruebas sobre espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices, determinantes, espacios propios y valores propios, con aplicaciones. Recomendado para estudiantes de matemáticas. Solo uno de MATH & # 1603083 y MATH & # 1603093 puede contarse para crédito. Pre- o correquisito: MATH & # 1602564 con C o mejor. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602803 con una C o mejor. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1603103. Combinatoria. 3 horas.

    Técnicas combinatorias básicas que incluyen el estudio del principio de inclusión y exclusión y funciones generadoras. Los temas adicionales pueden incluir aritmética modular, teoría de codificación algebraica, método de enumeración de Polya y una introducción a las estructuras algebraicas abstractas. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602603 o MATEMÁTICAS & # 1602803. Pre- o correquisito: MATEMÁTICAS & # 1603083 o MATEMÁTICAS & # 1603093. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1603113. Introducción al álgebra abstracta I. 3 horas.

    Introducción a las estructuras algebraicas con énfasis en la rigurosa justificación de resultados. Requisito previo: MATH & # 1602803 con una calificación de C o mejor y MATH & # 1603083 o MATH & # 1603093 con una calificación de C o mejor. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1603133. Historia de las Matemáticas. 3 horas.

    Estudio del desarrollo de las ideas matemáticas desde la antigüedad hasta la época moderna. Requisito previo: MATH & # 1602554 y MATH & # 1602603 o MATH & # 1602803, ambos con una calificación de C o mejor. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1603203. Teoría de los números. 3 horas.

    Temas de teoría de números elementales. Requisito previo: MATH & # 1602554 y MATH & # 1602603 o MATH & # 1602803, ambos con una calificación de C o mejor. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 1603513. Análisis elemental. 3 horas.

    Un primer curso riguroso de análisis. La base formal del sistema de números reales, secuencias y series, Teorema de Bolzano-Weierstrass, límites y continuidad, Teorema del valor intermedio, Teorema de Rolle, diferenciación, Teorema del valor medio y sus consecuencias, Teorema de Taylor, Reglas de L'Hopital, Convexidad , Integración de Riemann, el teorema fundamental del cálculo. Solo uno de MATH & # 1603513 y MATH & # 1604513 puede contarse como crédito para la especialización. Requisito previo: Una calificación de C o mejor en cada uno de MATH & # 1602554 o MATH & # 1602554C, MATH & # 1602564 o MATH & # 1602564C, MATH & # 1602574 o MATH & # 1602574C, MATH & # 1603083 o MATH & # 1603093, y MATH & # 1602803. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1603583. Fundamentos de la matemática aplicada. 3 horas.

    Introducción a la derivación y análisis de modelos físicos. Los temas incluyen el análisis dimensional, los métodos de perturbación, el método de las características, la mecánica del continuo y las ecuaciones elásticas, de materiales y de fluidos. Los estudios de caso provienen de biología, dinámica de fluidos, ingeniería, química y otras áreas. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602574 y MATEMÁTICAS & # 1602584. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1603773. Fundamentos de Geometría I. 3 Horas.

    Método axiomático Geometría euclidiana Geometría no euclidiana. Requisito previo: MATH & # 1602554 y MATH & # 1602603 o MATH & # 1602803, cada uno con una calificación de C o mejor. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1603923H. Coloquio de Honores. 3 horas.

    Cubre un tema o problema especial que se ofrece como parte del programa de honores. Requisito previo: Candidatura con honores (no restringida a la candidatura en matemáticas). (Normalmente ofrecido: Irregular) & # 160 Puede repetirse para obtener créditos de grado.

    MATEMÁTICAS & # 160399VH. Curso de Matemáticas con Honores. 1-6 horas.

    Honores de investigación y redacción de tesis bajo la dirección de un miembro de la facultad en el departamento. Requisito previo: Consentimiento departamental. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano) & # 160 Puede repetirse hasta 12 horas de crédito de grado.

    MATEMÁTICAS & # 160400V. Lecturas dirigidas. 1-7 horas.

    Lecturas dirigidas. Requisito previo: Consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: otoño, primavera y verano) & # 160 Puede repetirse hasta 7 horas de crédito de grado.

    MATEMÁTICAS & # 160405V. Prácticas en Práctica Profesional. 1-3 horas.

    Experiencia laboral profesional que implique un uso significativo de las matemáticas o la estadística en los negocios, la industria o el gobierno. Requisito previo: Consentimiento departamental. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano) & # 160 Puede repetirse hasta por 3 horas de crédito de grado.

    MATEMÁTICAS & # 1604103. Álgebra lineal avanzada. 3 horas.

    Funcionales lineales, representación matricial de transformaciones lineales, producto escalar y representación espectral de transformaciones lineales. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1603083 o MATEMÁTICAS & # 1603093. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 1604113. Introducción al álgebra abstracta II. 3 horas.

    Temas de álgebra abstracta que incluyen grupos abelianos finitos, grupos lineales, factorización en anillos conmutativos y teoría de Galois. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1603113. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1604153. Modelo matematico. 3 horas.

    Técnicas matemáticas para formular, analizar y criticar modelos deterministas extraídos de las ciencias biológicas, sociales y físicas. Las técnicas incluyen métodos gráficos, estabilidad, optimización y análisis del plano de fase. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602584. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 1604163. Modelos dinámicos en biología. 3 horas.

    Técnicas matemáticas y computacionales para desarrollar, ejecutar y analizar modelos dinámicos surgidos en las ciencias biológicas. Se estudian modelos de tiempo discreto y continuo. Las aplicaciones incluyen la dinámica de poblaciones, la dinámica celular y la propagación de enfermedades infecciosas. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602554. (Normalmente ofrecido: irregular)
    Este curso está en la lista cruzada con BIOL & # 1604163.

    MATEMÁTICAS & # 1604173. Diseño Matemático CAM. 3 horas.

    Técnicas matemáticas y computacionales para la fabricación asistida por ordenador. Aplicación de álgebra lineal para modelar el espacio 3D, representación de curvas y superficies en modelos 3D, conversión entre aproximaciones suaves y discretas de curvas, algoritmos para crear superficies a partir de trayectorias de máquinas, cinemática inversa, programación básica de G-Code. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602574 o MATEMÁTICAS & # 1602574C. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 1604253. Lógica simbólica I. 3 horas.

    Análisis rigurosos de los conceptos de prueba, consistencia, equivalencia, validez, implicación y verdad. Cobertura completa de la lógica funcional de la verdad y la teoría de la cuantificación (cálculo de predicados). Discusión de la naturaleza y los límites de los procedimientos mecánicos (algoritmos) para demostrar teoremas en lógica y matemáticas. Relatos informales de los hechos básicos sobre conjuntos infinitos. Requisito previo: MATH & # 1602603, MATH & # 1602803, o PHIL & # 1602203. (Normalmente ofrecido: otoño)
    Este curso está en la lista cruzada con PHIL & # 1604253.

    MATEMÁTICAS & # 1604303. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 3 horas.

    Existencia, singularidad, estabilidad, comportamiento cualitativo y soluciones numéricas. Requisito previo: MATH & # 1602584 y (MATH & # 1604513 o MATH & # 1603513). (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1604343. Introducción a la Computación Científica. 3 horas.

    Proporciona una comprensión de un conjunto diverso de problemas, así como algoritmos para resolverlos e implementar los algoritmos utilizando recursos y entornos informáticos de alto rendimiento. El énfasis está en la resolución de problemas y ofrece múltiples proyectos relacionados con aplicaciones en ciencia e ingeniería. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1603083 o MATEMÁTICAS & # 1603093. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1604353. Álgebra lineal numérica. 3 horas.

    Métodos numéricos para problemas de álgebra lineal, incluida la solución de sistemas muy grandes, autovalores y autovectores. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1603083 o MATEMÁTICAS & # 1603093. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1604363. Análisis numérico. 3 horas.

    Técnicas iterativas generales, análisis de errores, búsqueda de raíces, interpolación, aproximación, integración numérica y solución numérica de ecuaciones diferenciales. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602584. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1604373. Métodos de elementos finitos y solución de sistemas lineales dispersos. 3 horas.

    Proporciona una comprensión profunda de los métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales utilizando métodos de elementos finitos, métodos directos e iterativos para sistemas lineales dispersos. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1604353. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1604403. Álgebra lineal numérica II. 3 horas.

    Proporciona una comprensión profunda de los métodos numéricos para la solución de problemas de valores propios a gran escala que surgen en aplicaciones de ciencia e ingeniería, incluida la teoría, la implementación y las aplicaciones. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1604353. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1604423. Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. 3 horas.

    Matrices, análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales. Requisito previo: MATH & # 1602584 o MATH & # 1602584C con una calificación de C o mejor y MATH & # 1602574 con una calificación de C o mejor. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 1604443. Variables complejas. 3 horas.

    Análisis complejo, series y mapeo conforme. Solicitudes adicionales para créditos de posgrado. Requisito previo: MATH & # 1602603 o MATH & # 1602803, y MATH & # 1602584 o MATH & # 1602584C. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1604503. Geometría diferencial. 3 horas.

    Los temas incluyen: geometría diferencial clásica de curvas y superficies en 3 espacios, formas diferenciales y campos vectoriales. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602574 o MATEMÁTICAS & # 1602574C. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 1604513. Cálculo avanzado I. 3 horas.

    Los sistemas numéricos reales y complejos, la topología y teoría de conjuntos básica, las secuencias y series, la continuidad, la diferenciación y el teorema de Taylor. Se pone énfasis en un razonamiento matemático cuidadoso. Solo uno de MATH & # 1603513 y MATH & # 1604513 puede contarse como crédito para la especialización. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602574, MATEMÁTICAS & # 1602803 y MATEMÁTICAS & # 1603083 o MATEMÁTICAS & # 1603093. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1604523. Cálculo avanzado II. 3 horas.

    Integral de Riemann-Stieltjes, convergencia uniforme de funciones, serie de Fourier, teorema de función implícita, jacobianos y derivadas de orden superior. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1604513. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1604703. Introducción a la topología de conjuntos de puntos. 3 horas.

    Un estudio de espacios topológicos que incluyen transformaciones continuas, conectividad y compacidad. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1604513. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 1604933. Seminario Mayor de Matemáticas. 3 horas.

    Seminarios semanales sobre temas de interés histórico o interdisciplinario, diseñados para abordar el conocimiento matemático, la resolución de problemas y las habilidades de comunicación de los estudiantes, en los que participan las presentaciones de los estudiantes. También sirve como un foro para compartir información sobre oportunidades profesionales y preparación para el empleo. Requisito previo: Nivel superior y una especialización en matemáticas, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 160498V. Tesis de último año. 1-6 horas.

    Tesis de último año. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano)

    MATEMÁTICAS & # 160499V. Temas de investigación en matemáticas. 1-3 horas.

    Intereses actuales de investigación en matemáticas, a nivel de pregrado avanzado o de postgrado principiante. Requisito previo: Consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: Irregular) & # 160 Puede repetirse hasta por 12 horas de crédito de grado.

    MATEMÁTICAS & # 1605013. Álgebra abstracta con conexiones con las matemáticas escolares. 3 horas.

    Estructuras básicas de álgebra abstracta (anillos, campos, grupos, módulos y espacios vectoriales) con énfasis en anillos y campos como generalizaciones del anillo de números enteros y campo de números racionales. No se otorgarán créditos de posgrado para MATEMÁTICAS & # 1604113 (o MATEMÁTICAS & # 1605123) y MATEMÁTICAS & # 1605013. Prerrequisito: Licenciatura en pie o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 1605023. Geometría con conexiones con las matemáticas escolares. 3 horas.

    Geometría escolar desde una perspectiva avanzada, incluida la conformidad con los Estándares Estatales Básicos Comunes para Matemáticas. El estudio incluirá desarrollos históricos y geometría basados ​​en transformaciones de espacios bidimensionales y tridimensionales. Prerrequisito: Licenciatura en pie. (Normalmente ofrecido: Fall Odd Years)

    MATEMÁTICAS & # 1605033. Cálculo avanzado con conexiones a la enseñanza de matemáticas en la escuela. 3 horas.

    Desarrollo riguroso de los números reales, continuidad, diferenciación e integración. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604513 (o MATH & # 1605503) como para MATH & # 1605033. Requisito previo: Consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 160504V. Temas especiales para profesores. 1-6 horas.

    Temas de actualidad en matemáticas de interés para el profesorado de secundaria. Prerrequisito: Licenciatura en pie o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: Irregular) & # 160 Puede repetirse para obtener créditos de grado.

    MATEMÁTICAS & # 1605053. Probabilidad y estadística con conexiones a las matemáticas escolares. 3 horas.

    Una perspectiva avanzada de probabilidad y estadística contenida en el plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria con conexiones con otros componentes de las matemáticas escolares. El contenido está guiado por el contenido de la probabilidad de la escuela secundaria y las estadísticas de los Estándares Estatales Básicos Comunes para Matemáticas. Prerrequisito: Licenciatura en pie. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 160507V. Desarrollo profesional para la enseñanza secundaria de las matemáticas. 1-6 horas.

    Participación validada en talleres o institutos de desarrollo profesional de matemáticas aprobados por organizaciones educativas nacionales o internacionales como el College Board, el Programa de Bachillerato Internacional y el National Board for Professional Teaching Standards. Prerrequisito: Matrícula en Enseñanza de Matemáticas de Secundaria, programa de maestría o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: Irregular) & # 160 Puede repetirse hasta 6 horas de crédito de grado.

    MATEMÁTICAS & # 160510V. Seminario de Matemáticas. 1-3 horas.

    Los miembros de la facultad y los estudiantes avanzados se reúnen para presentar y discutir temas. Requisito previo: Licenciado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera) & # 160 Puede repetirse hasta 3 horas de crédito de grado.

    MATEMÁTICAS & # 1605113. Introducción al álgebra abstracta II. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604113.) Temas de álgebra abstracta que incluyen grupos abelianos finitos, grupos lineales, factorización en anillos conmutativos y teoría de Galois. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604113 como para MATH & # 1605113. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1603113. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1605123. Álgebra I. 3 horas.

    Lo que el estudiante graduado principiante debe saber sobre álgebra: grupos, anillos, campos, módulos, álgebras, categorías, álgebra homológica y teoría de Galois. Prerrequisito: MATEMÁTICAS & # 1603113, y posgrado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1605133. Álgebra II. 3 horas.

    Continuación de MATH & # 1605123. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1605123, y posgrado en matemáticas o estadística. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1605153. Álgebra lineal avanzada. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604103.) Funcionales lineales, representación matricial de transformaciones lineales, producto escalar y representación espectral de transformaciones lineales. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604103 como para MATH & # 1605153. Prerrequisito: Licenciatura en pie. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1605163. Modelos dinámicos en biología. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604163.) Técnicas matemáticas y computacionales para desarrollar, ejecutar y analizar modelos dinámicos que surgen en las ciencias biológicas. Se estudian modelos de tiempo discreto y continuo.Las aplicaciones incluyen la dinámica de poblaciones, la dinámica celular y la propagación de enfermedades infecciosas. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604163 como para MATH & # 1605163. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602554. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 1605213. Cálculo avanzado I. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604513.) Los sistemas numéricos reales y complejos, la topología y la teoría de conjuntos básica, las secuencias y series, la continuidad, la diferenciación y el teorema de Taylor. Se pone énfasis en un razonamiento matemático cuidadoso. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604513 como para MATH & # 1605213. Prerrequisito: Licenciatura en pie. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1605223. Cálculo avanzado II. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604523.) Integral de Riemann-Stieltjes, convergencia uniforme de funciones, serie de Fourier, teorema de función implícita, jacobianos y derivadas de orden superior. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604523 como para MATH & # 1605223. Requisito previo: MATH & # 1604513 o MATH & # 1605213 (anteriormente MATH & # 1604513). (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 160525V. Prácticas en Práctica Profesional. 1-3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 160405V.) Experiencia laboral profesional que implique un uso significativo de las matemáticas o la estadística en los negocios, la industria o el gobierno. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 160405V como para MATH & # 160525V. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano) & # 160 Puede repetirse hasta por 3 horas de crédito de grado.

    MATEMÁTICAS & # 1605263. Lógica simbólica I. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604253.) Análisis rigurosos de los conceptos de prueba, consistencia, equivalencia, validez, implicación y verdad. Cobertura completa de la lógica funcional de la verdad y la teoría de la cuantificación (cálculo de predicados). Discusión de la naturaleza y los límites de los procedimientos mecánicos (algoritmos) para demostrar teoremas en lógica y matemáticas. Relatos informales de los hechos básicos sobre conjuntos infinitos. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604253 como para MATH & # 1605263. Requisito previo: MATH & # 1602603, MATH & # 1602803, o PHIL & # 1602203. (Normalmente ofrecido: otoño)
    Este curso está en la lista cruzada con PHIL & # 1605253.

    MATEMÁTICAS & # 1605303. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 3 horas.

    Existencia, singularidad, estabilidad, comportamiento cualitativo y soluciones numéricas. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602584 y MATEMÁTICAS & # 1604513, y graduado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1605313. Ecuaciones diferenciales parciales. 3 horas.

    Ecuación de Laplace, Ecuación de calor, Ecuación de onda, Método de características. Prerrequisito: MATEMÁTICAS & # 1604423, MATEMÁTICAS & # 1604513, y posgrado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1605323. Ecuaciones diferenciales parciales II. 3 horas.

    Transformadas de Fourier, espacios de Sobolev, regularidad elíptica. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1605313 y licenciado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1605353. Modelo matematico. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604153.) Técnicas matemáticas para formular, analizar y criticar modelos deterministas tomados de las ciencias biológicas, sociales y físicas. Las técnicas incluyen métodos gráficos, estabilidad, optimización y análisis del plano de fase. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604153 como para MATH & # 1605353. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602584. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 1605363. Computación científica y métodos numéricos. 3 horas.

    Una introducción a los métodos numéricos utilizados para resolver varios problemas en ingeniería y ciencias. No puede obtener crédito por este curso y MATEMÁTICAS & # 1604353 o MATEMÁTICAS & # 1604363. Requisito previo: Licenciado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: otoño)
    Este curso está en la lista cruzada con PHYS & # 1605363.

    MATEMÁTICAS & # 1605373. Métodos de elementos finitos y solución de lineal disperso. 3 horas.

    Proporciona una comprensión profunda de los métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales utilizando métodos de elementos finitos, métodos directos e iterativos para sistemas lineales dispersos. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1605393. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1605383. Análisis numérico. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604363.) Técnicas iterativas generales, análisis de errores, búsqueda de raíces, interpolación, aproximación, integración numérica y solución numérica de ecuaciones diferenciales. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604363 como para MATH & # 1605383. Prerrequisito: Licenciatura en pie. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1605393. Álgebra lineal numérica. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604353.) Métodos numéricos para problemas de álgebra lineal, incluida la solución de sistemas muy grandes, autovalores y autovectores. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604353 como para MATH & # 1605393. Prerrequisito: Licenciatura en pie. (Normalmente ofrecido: primavera)
    Este curso es equivalente a MATH & # 1604353.

    MATEMÁTICAS & # 1605403. Álgebra lineal numérica II. 3 horas.

    Proporciona una comprensión profunda de los métodos numéricos para la solución de problemas de valores propios a gran escala que surgen en aplicaciones de ciencia e ingeniería, incluida la teoría, implementación y aplicaciones. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1605393. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1605423. Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. 3 horas.

    Matrices, análisis de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales. No cuenta para el crédito de grado en MATEMÁTICAS. Prerrequisito: Licenciatura en pie. (Normalmente se ofrece: otoño y primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1605443. Variables complejas. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604443.) Análisis complejo, series y mapeo conforme. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604443 como para MATH & # 1605443. Requisito previo: MATH & # 1602603 o MATH & # 1602803, y MATH & # 1602584 o MATH & # 1602584C. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1605453. Análisis funcional I. 3 horas.

    Espacios de Banach, Espacios de Hilbert, teoría de operadores, operadores compactos, espacios duales y adjuntos, teoría espectral, Hahn-Banach, teoremas de mapeo abierto y grafo cerrado, principio de delimitación uniforme, topologías débiles. Prerrequisito: MATEMÁTICAS & # 1605513, y graduado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: años impares de primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1605503. Teoría de funciones de una variable real I. 3 horas.

    Sistema de números reales, medida de Lebesque, integral de Lebesque, teoremas de convergencia, diferenciación de funciones monótonas, continuidad absoluta y el teorema fundamental del cálculo, espacios L ^ P, desigualdades de Holder y Minkowski, y funcionales lineales acotados en los espacios L ^ P. Requisito previo: MATH & # 1604523 o MATH & # 1605223 (anteriormente MATH & # 1604523), y un título de posgrado en matemáticas o estadística, o consentimiento del departamento. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1605513. Teoría de las funciones de una variable real II. 3 horas.

    Medida e integración en espacios de medida abstracta, medidas con signo, descomposición de Hahn, teorema de Radon-Nikdoym, descomposición de Lebesque, medidas en álgebras y sus extensiones, medidas de producto y teorema de Fubini. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1605503, y licenciatura en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1605523. Teoría de funciones de una variable compleja I. 3 horas.

    Números complejos, funciones analíticas, series de potencias, integración compleja, teorema y fórmula integral de Cauchy, principio máximo, singularidades, series de Laurent y mapas de Mobius. Requisito previo: MATH & # 1604513 o MATH & # 1605213 (anteriormente MATH & # 1604513). (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1605533. Teoría de funciones de una variable compleja II. 3 horas.

    Teorema de mapeo de Riemann, continuación analítica, funciones armónicas y funciones completas. Prerrequisito: MATEMÁTICAS & # 1605523, y posgrado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1605603. Geometría diferencial. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604503.) Los temas incluyen: geometría diferencial clásica de curvas y superficies en 3 espacios, formas diferenciales y campos vectoriales. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604503 como para MATH & # 1605603. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1602574 o MATEMÁTICAS & # 1602574C. (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 1605703. Topología I. 3 horas.

    Introducción a la topología. Los temas incluyen los espacios métricos, los espacios topológicos y la topología general de conjuntos de puntos, la homotopía y el grupo fundamental, los espacios de cobertura, la clasificación de superficies. Requisito previo: MATH & # 1604513 o MATH & # 1605213 (anteriormente MATH & # 1604513), y un título graduado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: Fall Even Years)

    MATEMÁTICAS & # 1605713. Topología II. 3 horas.

    La continuación de Topología I. Los temas incluyen: homotopía avanzada y espacios de cobertura, el teorema de Seifert-van Kampen, la homología y la secuencia de Mayer-Vietoris. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1605703, y licenciatura en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: años impares de primavera)

    MATEMÁTICAS & # 1605723. Topología diferencial I. 3 horas.

    Una introducción a la topología de variedades suaves: aplicaciones del teorema de la función inversa a mapas suaves, teorema de Sard, transversalidad, teoría de la intersección, grados de mapas, campos vectoriales y formas diferenciales en variedades, integración en variedades. Prerrequisito: MATH & # 1604513 o MATH & # 1605213 (anteriormente MATH & # 1604513) y posgrado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: Fall Odd Years)

    MATEMÁTICAS & # 1605733. Topología diferencial II. 3 horas.

    La continuación de la Topología diferencial I, con temas avanzados adicionales. Los posibles temas avanzados pueden incluir: teoría de Morse, teoría de cohomología de De Rham, dualidad de Poincaré, geometría de Riemann y grupos de Lie y álgebras de Lie. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1605723 y licenciado en matemáticas o estadística, o consentimiento del departamento (Normalmente ofrecido: Primavera incluso años)

    MATEMÁTICAS & # 1605803. Introducción a la topología de conjuntos de puntos. 3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 1604703.) Un estudio de espacios topológicos que incluyen transformaciones continuas, conectividad y compacidad. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 1604703 como para MATH & # 1605803. Requisito previo: MATH & # 1604513 o MATH & # 1605213 (anteriormente MATH & # 1604513). (Normalmente ofrecido: irregular)

    MATEMÁTICAS & # 160599V. Temas de investigación en matemáticas. 1-3 horas.

    (Anteriormente MATH & # 160499V.) Intereses actuales de investigación en matemáticas. No se otorgarán créditos para títulos de posgrado tanto para MATH & # 160499V como para MATH & # 160599V. Requisito previo: Consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: Irregular) & # 160 Puede repetirse hasta por 12 horas de crédito de grado.

    MATEMÁTICAS & # 160609V. Temas de Educación Matemática. 1-6 horas.

    Temas de investigación en educación matemática que incluyen currículo, formación docente, teoría del aprendizaje y evaluación. Prerrequisito: Licenciatura en pie. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano) & # 160 Puede repetirse hasta 12 horas de crédito de grado.

    MATEMÁTICAS & # 160610V. Lecturas dirigidas. 1-6 horas.

    Lecturas dirigidas. Requisito previo: Consentimiento departamental. (Normalmente ofrecido: Irregular) & # 160 Puede repetirse hasta 18 horas de crédito de grado.

    MATEMÁTICAS & # 160619V. Temas de álgebra. 1-6 horas.

    Intereses actuales de investigación en álgebra. Requisito previo: Licenciado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano) & # 160 Puede repetirse para obtener créditos de grado.

    MATEMÁTICAS & # 1606203. Teoría de la probabilidad. 3 horas.

    Un tratamiento matemático riguroso basado en la teoría de la medida de las nociones fundamentales y los resultados de la teoría de la probabilidad. Los temas cubiertos incluyen leyes de grandes números, teoremas del límite central, expectativas condicionales. Los temas adicionales que pueden cubrirse incluyen martingalas, cadenas de Markov, movimiento browniano e integración estocástica. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1605513. (Normalmente ofrecido: otoño)

    MATEMÁTICAS & # 1606213. Estadística matemática. 3 horas.

    Un riguroso tratamiento matemático de los principios y resultados fundamentales en la teoría de la Estadística. Los temas incluyen familias exponenciales de distribuciones, estimación de parámetros desconocidos, teoría clásica de la teoría de la prueba de hipótesis, aproximaciones de muestras grandes, propiedades de estimadores de muestras grandes. Requisito previo: MATEMÁTICAS & # 1606203. (Normalmente ofrecido: primavera)

    MATEMÁTICAS & # 160659V. Temas de análisis. 1-6 horas.

    Intereses actuales de investigación en análisis. Requisito previo: Licenciado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano) & # 160 Puede repetirse para obtener créditos de grado.

    MATEMÁTICAS & # 160679V. Temas de topología. 1-6 horas.

    Interés investigador actual en topología. Requisito previo: Licenciado en matemáticas o estadística, o consentimiento departamental. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano) & # 160 Puede repetirse para obtener créditos de grado.

    MATEMÁTICAS & # 160700V. Tesis doctoral. 1-18 horas.

    Tesis doctoral. Prerrequisito: Candidatura a Doctorado en Matemáticas. (Normalmente se ofrece: otoño, primavera y verano) & # 160 Puede repetirse para obtener créditos de grado.


    Contenido

    El principio de covarianza general fue uno de los principios centrales en el desarrollo de la relatividad general. Afirma que las leyes de la física deben adoptar la misma forma matemática en todos los marcos de referencia. El término "covarianza general" se usó en la formulación temprana de la relatividad general, pero el principio se conoce ahora como "covarianza de difeomorfismo".

    La covarianza difeomorfista no es la característica definitoria de la relatividad general, [1] y persisten controversias con respecto a su estado actual en la relatividad general. Sin embargo, la propiedad de invariancia de las leyes físicas implícita en el principio, junto con el hecho de que la teoría es de carácter esencialmente geométrico (haciendo uso de geometrías no euclidianas), sugirió que la relatividad general se formulara utilizando el lenguaje de los tensores. Esto se discutirá más adelante.

    La mayoría de los enfoques modernos de la relatividad general matemática comienzan con el concepto de variedad. Más precisamente, la construcción física básica que representa la gravitación, un espacio-tiempo curvo, está modelada por una variedad Lorentziana, lisa y conectada de cuatro dimensiones. Otros descriptores físicos están representados por varios tensores, que se analizan a continuación.

    La razón para elegir una variedad como estructura matemática fundamental es reflejar las propiedades físicas deseables. Por ejemplo, en la teoría de variedades, cada punto está contenido en un gráfico de coordenadas (de ninguna manera único), y este gráfico puede considerarse como una representación del 'espacio-tiempo local' alrededor del observador (representado por el punto). El principio de covarianza local de Lorentz, que establece que las leyes de la relatividad especial se aplican localmente sobre cada punto del espacio-tiempo, da más apoyo a la elección de una estructura múltiple para representar el espacio-tiempo, como localmente alrededor de un punto en una variedad general, la región ' parece ', o se aproxima muy de cerca al espacio de Minkowski (espacio-tiempo plano).

    La idea de gráficos de coordenadas como 'observadores locales que pueden realizar mediciones en su vecindad' también tiene un buen sentido físico, ya que así es como uno realmente recopila datos físicos: localmente. Para problemas cosmológicos, un gráfico de coordenadas puede ser bastante grande.

    Estructura local versus global Editar

    Una distinción importante en física es la diferencia entre estructuras locales y globales. Las mediciones en física se realizan en una región relativamente pequeña del espacio-tiempo y esta es una razón para estudiar la estructura local del espacio-tiempo en la relatividad general, mientras que determinar la estructura del espacio-tiempo global es importante, especialmente en problemas cosmológicos.

    Un problema importante en la relatividad general es saber cuándo dos espaciotiempos son "iguales", al menos localmente. Este problema tiene sus raíces en la teoría de las variedades donde se determina si dos variedades de Riemann de la misma dimensión son localmente isométricas ("localmente iguales"). Este último problema ha sido resuelto y su adaptación a la relatividad general se denomina algoritmo de Cartan-Karlhede.

    Una de las profundas consecuencias de la teoría de la relatividad fue la abolición de los marcos de referencia privilegiados. La descripción de los fenómenos físicos no debe depender de quién realiza la medición: un marco de referencia debe ser tan bueno como cualquier otro. La relatividad especial demostró que ningún marco de referencia inercial era preferencial a ningún otro marco de referencia inercial, sino que prefería los marcos de referencia inerciales sobre los marcos de referencia no inerciales. La relatividad general eliminó la preferencia por los marcos de referencia inerciales al mostrar que no hay un marco de referencia preferido (inercial o no) para describir la naturaleza.

    Cualquier observador puede realizar mediciones y las cantidades numéricas precisas obtenidas solo dependen del sistema de coordenadas utilizado. Esto sugirió una forma de formular la relatividad usando 'estructuras invariantes', aquellas que son independientes del sistema de coordenadas (representado por el observador) usado, pero que aún tienen una existencia independiente. La estructura matemática más adecuada parecía ser un tensor. Por ejemplo, al medir los campos eléctricos y magnéticos producidos por una carga acelerada, los valores de los campos dependerán del sistema de coordenadas utilizado, pero se considera que los campos tienen una existencia independiente, esta independencia representada por el tensor electromagnético.

    Matemáticamente, los tensores son operadores lineales generalizados: mapas multilineales. Como tal, las ideas del álgebra lineal se emplean para estudiar tensores.

    En cada punto p < displaystyle p> de una variedad, se pueden construir los espacios tangente y cotangente a la variedad en ese punto. Los vectores (a veces denominados vectores contravariantes) se definen como elementos del espacio tangente y los covariantes (a veces denominados vectores covariantes, pero más comúnmente vectores duales o uni-formas) son elementos del espacio cotangente.

    En la literatura sobre relatividad general, es convencional usar la sintaxis de componentes para tensores.

    Como se supone que el espacio-tiempo es tetradimensional, cada índice de un tensor puede ser uno de cuatro valores. Por lo tanto, el número total de elementos que posee un tensor es 4 R , donde R es el recuento del número de covariantes (b i) < displaystyle (b_)> y contravariante (a i) < displaystyle (a_)> índices en el tensor, r + s < displaystyle r + s> (un número llamado rango del tensor).

    Tensores simétricos y antisimétricos Editar

    Algunas cantidades físicas están representadas por tensores cuyos componentes no son todos independientes. Ejemplos importantes de tales tensores incluyen tensores simétricos y antisimétricos. Los tensores antisimétricos se utilizan comúnmente para representar rotaciones (por ejemplo, el tensor de vorticidad).

    Los tensores antisimétricos de rango 2 juegan un papel importante en la teoría de la relatividad. El conjunto de todos estos tensores, a menudo llamados bivectores, forma un espacio vectorial de dimensión 6, a veces llamado espacio bivector.

    El tensor métrico Editar

    El tensor métrico es un objeto central en la relatividad general que describe la geometría local del espacio-tiempo (como resultado de resolver las ecuaciones de campo de Einstein). Utilizando la aproximación de campo débil, también se puede pensar que el tensor métrico representa el "potencial gravitacional". El tensor métrico a menudo se llama simplemente "la métrica".

    La métrica es un tensor simétrico y es una herramienta matemática importante. Además de utilizarse para subir y bajar índices de tensor, también genera las conexiones que se utilizan para construir las ecuaciones geodésicas de movimiento y el tensor de curvatura de Riemann.

    Un medio conveniente de expresar el tensor métrico en combinación con los intervalos incrementales de la distancia de coordenadas con los que se relaciona es a través del elemento de línea:

    Esta forma de expresar la métrica fue utilizada por los pioneros de la geometría diferencial. Si bien algunos relativistas consideran que la notación es algo anticuada, muchos cambian fácilmente entre esta y la notación alternativa: [1]

    El tensor métrico se escribe comúnmente como una matriz de 4 por 4. Esta matriz es simétrica y por lo tanto tiene 10 componentes independientes.

    Invariantes Editar

    Una de las características centrales de GR es la idea de invariancia de las leyes físicas. Esta invariancia se puede describir de muchas maneras, por ejemplo, en términos de covarianza de Lorentz local, el principio general de relatividad o covarianza de difeomorfismo.

    Se puede dar una descripción más explícita utilizando tensores. La característica crucial de los tensores usados ​​en este enfoque es el hecho de que (una vez que se da una métrica) la operación de contraer un tensor de rango R sobre todos los índices R da un número - un invariante - que es independiente del gráfico de coordenadas que se utiliza para realizar la contracción. Físicamente, esto significa que si dos observadores calculan el invariante, obtendrán el mismo número, lo que sugiere que el invariante tiene algún significado independiente. Algunos invariantes importantes en la relatividad incluyen:

    Otros ejemplos de invariantes en relatividad incluyen los invariantes electromagnéticos y varios otros invariantes de curvatura, algunos de los cuales encuentran aplicación en el estudio de la entropía gravitacional y la hipótesis de la curvatura de Weyl.

    Clasificaciones de tensores Editar

    La clasificación de tensores es un problema puramente matemático. En GR, sin embargo, ciertos tensores que tienen una interpretación física pueden clasificarse con las diferentes formas del tensor que generalmente corresponden a alguna física. Ejemplos de clasificaciones de tensores útiles en relatividad general incluyen la clasificación Segre del tensor de energía-momento y la clasificación de Petrov del tensor de Weyl. Existen varios métodos para clasificar estos tensores, algunos de los cuales usan invariantes de tensor.

    Los campos tensoriales de una variedad son mapas que adjuntan un tensor a cada punto de la variedad. Esta noción se puede hacer más precisa introduciendo la idea de un haz de fibras, que en el contexto actual significa reunir todos los tensores en todos los puntos de la variedad, y así 'agruparlos' a todos en un gran objeto llamado haz tensorial. Luego, un campo tensorial se define como un mapa de la variedad al conjunto tensorial, cada punto p < displaystyle p> se asocia con un tensor en p < displaystyle p>.

    La noción de campo tensorial es de gran importancia en GR. Por ejemplo, la geometría alrededor de una estrella se describe mediante un tensor métrico en cada punto, por lo que en cada punto del espacio-tiempo se debe dar el valor de la métrica para resolver las trayectorias de las partículas materiales. Otro ejemplo son los valores de los campos eléctricos y magnéticos (dados por el tensor de campo electromagnético) y la métrica en cada punto alrededor de un agujero negro cargado para determinar el movimiento de una partícula cargada en dicho campo.

    Aunque la palabra 'tensor' se refiere a un objeto en un punto, es una práctica común referirse a los campos tensoriales en un espacio-tiempo (o una región del mismo) simplemente como 'tensores'.

    En cada punto de un espacio-tiempo en el que se define una métrica, la métrica se puede reducir a la forma de Minkowski utilizando la ley de inercia de Sylvester.

    Antes del advenimiento de la relatividad general, los cambios en los procesos físicos se describían generalmente mediante derivadas parciales, por ejemplo, al describir cambios en los campos electromagnéticos (véanse las ecuaciones de Maxwell). Incluso en la relatividad especial, la derivada parcial sigue siendo suficiente para describir tales cambios. Sin embargo, en la relatividad general, se encuentra que deben usarse derivadas que también son tensores. Las derivadas tienen algunas características comunes, incluido el hecho de que son derivadas a lo largo de curvas integrales de campos vectoriales.

    El problema de definir derivadas en variedades que no son planas es que no existe una forma natural de comparar vectores en diferentes puntos. Se requiere una estructura adicional en una variedad general para definir derivadas. A continuación se describen dos derivadas importantes que pueden definirse imponiendo una estructura adicional a la variedad en cada caso.

    Conexiones afines Editar

    La curvatura de un espacio-tiempo se puede caracterizar tomando un vector en algún punto y transportándolo en paralelo a lo largo de una curva en el espacio-tiempo. Una conexión afín es una regla que describe cómo mover legítimamente un vector a lo largo de una curva en la variedad sin cambiar su dirección.

    A pesar de su apariencia, el los coeficientes de conexión no son los componentes de un tensor.

    Una conexión afín importante en la relatividad general es la conexión Levi-Civita, que es una conexión simétrica obtenida del transporte paralelo de un vector tangente a lo largo de una curva mientras se mantiene constante el producto interno de ese vector a lo largo de la curva. Los coeficientes de conexión resultantes (símbolos de Christoffel) se pueden calcular directamente a partir de la métrica. Por esta razón, este tipo de conexión a menudo se denomina conexión métrica.

    La derivada covariante Editar

    Se puede expresar mediante coeficientes de conexión:

    En la literatura, existen tres métodos comunes para denotar diferenciación covariante:

    Muchas propiedades estándar de las derivadas parciales regulares también se aplican a las derivadas covariantes:

    En la relatividad general, uno suele referirse a "la" derivada covariante, que es la asociada con la conexión afín Levi-Civita. Por definición, la conexión Levi-Civita conserva la métrica bajo transporte paralelo, por lo tanto, la derivada covariante da cero cuando actúa sobre un tensor métrico (así como su inverso). Significa que podemos tomar el tensor métrico (inverso) dentro y fuera de la derivada y usarlo para subir y bajar índices:

    La derivada de la mentira Editar

    Otra derivada tensorial importante es la derivada de Lie. A diferencia de la derivada covariante, la derivada de Lie es independiente de la métrica, aunque en la relatividad general se suele utilizar una expresión que aparentemente depende de la métrica a través de la conexión afín. Mientras que la derivada covariante requería una conexión afín para permitir la comparación entre vectores en diferentes puntos, la derivada de Lie usa una congruencia de un campo vectorial para lograr el mismo propósito. La idea de que Lie arrastra una función a lo largo de una congruencia conduce a una definición de la derivada de Lie, donde la función arrastrada se compara con el valor de la función original en un punto dado. La derivada de Lie se puede definir para los campos de tensores de tipo (r, s) < displaystyle (r, s)> y, en este sentido, se puede ver como un mapa que envía un tipo (r, s) < displaystyle (r, s )> a un tensor de tipo (r, s) < displaystyle (r, s)>.

    La derivada de Lie de cualquier tensor a lo largo de un campo vectorial se puede expresar mediante las derivadas covariantes de ese tensor y campo vectorial. La derivada de Lie de un escalar es solo la derivada direccional:

    Los objetos de rango superior recogen términos adicionales cuando se toma la derivada de Lie. Por ejemplo, la derivada de Lie de un tensor de tipo (0, 2) es

    De hecho, en la expresión anterior, se puede reemplazar la derivada covariante ∇ a < displaystyle nabla _> con alguna conexión libre de torsión ∇

    Uno de los principales usos de la derivada de Lie en la relatividad general es el estudio de las simetrías del espacio-tiempo, donde se conservan tensores u otros objetos geométricos. En particular, la simetría de Killing (simetría del tensor métrico bajo el arrastre de Lie) ocurre con mucha frecuencia en el estudio de los espaciotiempos. Usando la fórmula anterior, podemos escribir la condición que debe cumplirse para que un campo vectorial genere una simetría de Killing:

    Una característica crucial de la relatividad general es el concepto de variedad curva. Una forma útil de medir la curvatura de una variedad es con un objeto llamado tensor de Riemann (curvatura).

    Este tensor mide la curvatura mediante el uso de una conexión afín al considerar el efecto del transporte paralelo de un vector entre dos puntos a lo largo de dos curvas. La discrepancia entre los resultados de estas dos rutas de transporte paralelas se cuantifica esencialmente mediante el tensor de Riemann.

    Esta propiedad del tensor de Riemann se puede utilizar para describir cómo divergen inicialmente las geodésicas paralelas. Esto se expresa mediante la ecuación de la desviación geodésica y significa que las fuerzas de marea experimentadas en un campo gravitacional son el resultado de la curvatura del espacio-tiempo.

    Usando el procedimiento anterior, el tensor de Riemann se define como un tensor de tipo (1, 3) y cuando está completamente escrito contiene explícitamente los símbolos de Christoffel y sus primeras derivadas parciales. El tensor de Riemann tiene 20 componentes independientes. La desaparición de todos estos componentes en una región indica que el espacio-tiempo es plano en esa región. Desde el punto de vista de la desviación geodésica, esto significa que las geodésicas inicialmente paralelas en esa región del espacio-tiempo permanecerán paralelas.

    El tensor de Riemann tiene una serie de propiedades a las que a veces se hace referencia como simetrías del tensor de Riemann. De particular relevancia para la relatividad general son las identidades algebraicas y diferenciales de Bianchi.

    La conexión y la curvatura de cualquier variedad de Riemann están estrechamente relacionadas, la teoría de los grupos de holonomía, que se forman tomando mapas lineales definidos por transporte paralelo alrededor de curvas en la variedad, proporcionando una descripción de esta relación.

    Lo que el tensor de Riemann nos permite hacer es decir, matemáticamente, si un espacio es plano o, si es curvo, cuánta curvatura tiene lugar en una región determinada. Para derivar el tensor de curvatura de Riemann, primero debemos recordar la definición de la derivada covariante de un tensor con uno y dos índices.

    Para la formación del tensor de Riemann, la derivada covariante se toma dos veces con respecto a un tensor de rango uno. La ecuación se configura de la siguiente manera

    Restar las dos ecuaciones, intercambiar índices ficticios y usar la simetría de los símbolos de Christoffel deja:

    Finalmente, el tensor de curvatura de Riemann se escribe como

    Puede contraer índices para hacer que el tensor sea covariante simplemente multiplicando por la métrica, lo que será útil cuando trabaje con las ecuaciones de campo de Einstein,

    y por una mayor descomposición,

    Entonces ahora tenemos 3 objetos diferentes,

    todos los cuales son útiles para calcular soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein.

    Las fuentes de cualquier campo gravitacional (materia y energía) se representan en relatividad mediante un tensor simétrico de tipo (0, 2) llamado tensor de energía-momento. Está estrechamente relacionado con el tensor de Ricci. Al ser un tensor de segundo rango en cuatro dimensiones, el tensor de energía-momento puede verse como una matriz de 4 por 4. Los diversos tipos de matrices admisibles, llamados formas de Jordan, no pueden ocurrir todos, ya que las condiciones de energía que el tensor de energía-momento se ve obligado a satisfacer descartan ciertas formas.

    Conservación de energía Editar

    En GR, hay un local ley para la conservación de la energía-momento. Puede expresarse sucintamente mediante la ecuación tensorial:

    El enunciado correspondiente de conservación de energía local en relatividad especial es:

    Esto ilustra la regla de oro de que "las derivadas parciales van a las derivadas covariantes".

    Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) son el núcleo de la teoría de la relatividad general. El EFE describe cómo la masa y la energía (como se representa en el tensor de tensión-energía) se relacionan con la curvatura del espacio-tiempo (como se representa en el tensor de Einstein). En notación de índice abstracto, la EFE dice lo siguiente:

    Las soluciones del EFE son tensores métricos. Las EFE, al ser ecuaciones diferenciales no lineales para la métrica, a menudo son difíciles de resolver. Hay una serie de estrategias que se utilizan para resolverlos. Por ejemplo, una estrategia es comenzar con un ansatz (o una suposición fundamentada) de la métrica final y refinarla hasta que sea lo suficientemente específica para admitir un sistema de coordenadas, pero aún lo suficientemente general para producir un conjunto de ecuaciones diferenciales simultáneas con incógnitas se puede resolver. Los tensores métricos que resultan de casos en los que las ecuaciones diferenciales resultantes pueden resolverse exactamente para una distribución físicamente razonable de energía-momento se denominan soluciones exactas. Ejemplos de soluciones exactas importantes incluyen la solución de Schwarzschild y la solución de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker.

    La aproximación EIH más otras referencias (por ejemplo, Geroch y Jang, 1975 - 'Motion of a body in general relativity', JMP, Vol.16 Issue 1).

    Una vez resueltos los EFE para obtener una métrica, queda por determinar el movimiento de los objetos inerciales en el espacio-tiempo. En la relatividad general, se supone que el movimiento inercial se produce a lo largo de geodésicas temporales y nulas del espacio-tiempo según lo parametrizado por el tiempo adecuado. Las geodésicas son curvas que transportan en paralelo su propio vector tangente U → < displaystyle < vec >> es decir, ∇ U → U → = 0 < Displaystyle nabla _ < vec > < vec > = 0>. Esta condición, la ecuación geodésica, se puede escribir en términos de un sistema de coordenadas x a < displaystyle x ^> con el vector tangente U a = d x a d τ < displaystyle U ^ = < frac >> :

    Una característica principal de la relatividad general es determinar las trayectorias de las partículas y la radiación en los campos gravitacionales. Esto se logra resolviendo las ecuaciones geodésicas.

    Los EFE relacionan la distribución total de materia (energía) con la curvatura del espacio-tiempo. Su no linealidad conduce a un problema para determinar el movimiento preciso de la materia en el espacio-tiempo resultante. Por ejemplo, en un sistema compuesto por un planeta en órbita alrededor de una estrella, el movimiento del planeta se determina resolviendo las ecuaciones de campo con el tensor de energía-momento la suma de los del planeta y la estrella. El campo gravitacional del planeta afecta la geometría del espacio-tiempo total y, por lo tanto, el movimiento de los objetos. Por tanto, es razonable suponer que las ecuaciones de campo se pueden utilizar para derivar las ecuaciones geodésicas.

    Cuando el tensor de energía-momento para un sistema es el del polvo, se puede demostrar usando la ley de conservación local para el tensor de energía-momento que las ecuaciones geodésicas se satisfacen exactamente.

    Muchos investigadores consideran atractivo el tema de derivar las ecuaciones de movimiento o las ecuaciones de campo en cualquier teoría física. Una forma bastante universal de realizar estas derivaciones es mediante el uso de técnicas de cálculo variacional, siendo los principales objetos utilizados en esto los lagrangianos.

    Muchos consideran que este enfoque es una forma elegante de construir una teoría, otros como una forma meramente formal de expresar una teoría (por lo general, la construcción lagrangiana se realiza después la teoría ha sido desarrollada).

    Habiendo delineado las estructuras matemáticas básicas utilizadas en la formulación de la teoría, ahora se discutirán algunas técnicas matemáticas importantes que se emplean en la investigación del espacio-tiempo.

    Campos de marco Editar

    Un campo de trama es un conjunto ortonormal de 4 campos vectoriales (1 en forma de tiempo, 3 en forma de espacio) definidos en un espacio-tiempo. Se puede pensar que cada campo de cuadro representa a un observador en el espacio-tiempo que se mueve a lo largo de las curvas integrales del campo vectorial en forma de tiempo. Cada cantidad de tensor puede expresarse en términos de un campo de trama, en particular, el tensor métrico adquiere una forma particularmente conveniente. Cuando se combinan con los campos de coframe, los campos de marco proporcionan una herramienta poderosa para analizar el espacio-tiempo e interpretar físicamente los resultados matemáticos.

    Campos de vector de simetría Editar

    Algunas técnicas modernas para analizar el espacio-tiempo se basan en gran medida en el uso de simetrías del espacio-tiempo, que se generan infinitesimalmente por campos vectoriales (generalmente definidos localmente) en un espacio-tiempo que preserva alguna característica del espacio-tiempo. El tipo más común de tales campos vectoriales de simetría incluyen Killing vector fields (que preservan la estructura métrica) y sus generalizaciones llamadas Campos de vector de matanza generalizados. Los campos vectoriales de simetría encuentran una amplia aplicación en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general y el conjunto de todos esos campos vectoriales generalmente forma un álgebra de Lie de dimensión finita.

    El problema de Cauchy

    El problema de Cauchy (a veces llamado problema del valor inicial) es el intento de encontrar una solución a una ecuación diferencial dadas las condiciones iniciales. En el contexto de la relatividad general, significa el problema de encontrar soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein, un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas, dados algunos datos iniciales sobre una hipersuperficie. El estudio del problema de Cauchy permite formular el concepto de causalidad en la relatividad general, así como "parametrizar" las soluciones de las ecuaciones de campo. Idealmente, uno desea soluciones globales, pero usualmente soluciones locales son lo mejor que se puede esperar. Normalmente, la resolución de este problema de valor inicial requiere la selección de condiciones de coordenadas particulares.

    Formalismo de spinor editar

    Los espinores encuentran varias aplicaciones importantes en la relatividad. Su uso como método para analizar espaciotiempo utilizando tétradas, en particular, en el formalismo de Newman-Penrose es importante.

    Otra característica atractiva de los espinores en la relatividad general es la forma condensada en la que se pueden escribir algunas ecuaciones tensoriales utilizando el formalismo de espinores. Por ejemplo, al clasificar el tensor de Weyl, determinar los diversos tipos de Petrov se vuelve mucho más fácil en comparación con la contraparte tensorial.

    Cálculo de Regge Editar

    El cálculo de Regge es un formalismo que corta una variedad de Lorentz en 'trozos' discretos (bloques simpliciales de cuatro dimensiones) y las longitudes de los bordes de los bloques se toman como variables básicas. Se obtiene una versión discreta de la acción de Einstein-Hilbert considerando los llamados ángulos deficitarios de estos bloques, un ángulo de déficit cero correspondiente a ninguna curvatura.Esta novedosa idea encuentra aplicación en métodos de aproximación en relatividad numérica y gravedad cuántica, esta última utilizando una generalización del cálculo de Regge.

    Teoremas de singularidad Editar

    En relatividad general, se señaló que, en condiciones bastante genéricas, el colapso gravitacional inevitablemente dará como resultado una denominada singularidad. Una singularidad es un punto donde las soluciones de las ecuaciones se vuelven infinitas, lo que indica que la teoría ha sido probada en rangos inapropiados.

    Relatividad numérica editar

    La relatividad numérica es el subcampo de la relatividad general que busca resolver las ecuaciones de Einstein mediante el uso de métodos numéricos. Se utilizan métodos de diferencia finita, elemento finito y pseudoespectral para aproximar la solución a las ecuaciones diferenciales parciales que surgen. Las técnicas novedosas desarrolladas por la relatividad numérica incluyen el método de escisión y el método de punción para tratar las singularidades que surgen en el espacio-tiempo de los agujeros negros. Los temas de investigación más comunes incluyen los agujeros negros y las estrellas de neutrones.

    Métodos de perturbación Editar

    La no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein a menudo lleva a uno a considerar métodos de aproximación para resolverlas. Por ejemplo, un enfoque importante es linealizar las ecuaciones de campo. Las técnicas de la teoría de la perturbación encuentran amplia aplicación en tales áreas.

    [1] La característica definitoria (idea física central) de la relatividad general es que la materia y la energía hacen que la geometría del espacio-tiempo circundante sea curva.


    Modelado híbrido de estructuras articuladas no lineales mediante técnicas de reducción de modelos de elementos finitos y aprendizaje profundo

    En la práctica de la ingeniería, muchas estructuras se ensamblan mediante varios componentes lineales a través de juntas no lineales. Se propone un nuevo método de modelado híbrido basado en la reducción de modelos de elementos finitos y técnicas de aprendizaje profundo para cumplir con los requisitos cada vez mayores de modelado eficiente y preciso para estructuras articuladas no lineales.

    Métodos

    La idea principal del método de modelado híbrido para estructuras articuladas no lineales se resume de la siguiente manera: En primer lugar, los modelos de elementos finitos de componentes lineales se reducen para mejorar la eficiencia informática utilizando el método de síntesis de modo de interfaz libre, como integración numérica de ecuaciones gobernantes de estructuras no lineales con un gran número de grados de libertad siempre lleva mucho tiempo. En segundo lugar, las redes neuronales profundas se utilizan para representar de manera equivalente las articulaciones no lineales que son difíciles de describir mediante modelos precisos y motivados físicamente, a fin de evitar los errores causados ​​por el modelado de mecanismos tradicionales o la identificación del sistema. Las articulaciones no lineales finalmente se reemplazan con sus redes neuronales equivalentes y se conectan con los modelos de subestructura de componentes lineales a través de la compatibilidad de los desplazamientos y el equilibrio de fuerzas en las interfaces.

    Resultados y Conclusiones

    El rendimiento del método de modelado híbrido propuesto se prueba y evalúa mediante un estudio de caso centrado en una placa en voladizo con juntas no lineales. Los resultados comparativos demuestran la capacidad del método propuesto para el modelado eficiente y preciso de estructuras articuladas no lineales y la predicción de su comportamiento intrínseco no lineal.


    2. Métodos

    Proponemos verificar los códigos de mecánica cardíaca utilizando un punto de referencia de la versión N. Para que este enfoque sea efectivo, necesitamos asegurar un número suficiente de participantes para lograr un consenso de la comunidad para la solución, al tiempo que nos aseguramos de que los problemas de prueba cubran las propiedades destacadas de los códigos. Los problemas de referencia de la mecánica cardíaca deben ser lo suficientemente simples como para ser comunicados de manera clara y sin ambigüedades, mientras que deben ser lo suficientemente complejos como para probar aspectos importantes de los códigos de software que no se prueban habitualmente con otros métodos. Para asegurarnos de que las diferencias en las soluciones se deben a diferencias en la implementación y no a ambigüedades en la definición del modelo o al uso de diferentes herramientas de procesamiento de imágenes, utilizamos descripciones analíticas de la geometría en todos los problemas. Sin embargo, no hemos requerido el uso de un método numérico específico, un tipo de base de elementos finitos o un enfoque para modelar la incompresibilidad, para maximizar el número de participantes potenciales. Hemos creado un conjunto de tres problemas diferentes, cada uno de los cuales prueba diferentes aspectos importantes para resolver la mecánica cardíaca. El primer problema utiliza una geometría de haz simple con una ley constitutiva cardíaca típica, probando la implementación correcta de las ecuaciones que rigen, las propiedades del material y las condiciones de los límites de presión que cambian con la orientación y el área de la superficie deformada. El segundo problema es independiente de la dirección de la fibra y utiliza propiedades de material isotrópico, pero prueba una geometría del ventrículo izquierdo más compleja. Finalmente, el tercer problema usa una geometría idéntica al segundo problema, pero agrega una distribución de fibra variable y tensión activa.

    La libre elección de métodos numéricos y tipos de bases plantea desafíos para comparar resultados y formatos de solución. Como compromiso, el formato de archivo VTK se utiliza para la salida y el procesamiento de datos, ya que este formato ya es de uso común, varios participantes tenían soporte integrado para él en su software y hay una extensa interfaz de programa de aplicación (API) para lectura y procesamiento de resultados [25].

    (a) Teoría y notación de la mecánica de sólidos

    Comenzamos con una breve descripción general de la teoría de la mecánica de sólidos para introducir la notación y los conceptos a los que se hace referencia en la descripción del problema. Denotamos la ubicación no deformada en coordenadas cartesianas de un punto como X y la posición deformada como X=X(X). El gradiente de deformación se define como F= & # x02202X/ & # x02202X, y E = ½ (F T F - I) es el tensor de deformación de Green & # x02013 Lagrange. Las ecuaciones que gobiernan la deformación de un sólido incompresible en equilibrio de estado estacionario se pueden establecer como

    dónde J = det (F) y & # x003c3 es el tensor de tensión de Cauchy que se deriva de una función de energía de deformación W(mi) por

    dónde T es el segundo tensor de tensión de Piola & # x02013Kirchhoff. Aparte de estas ecuaciones de gobierno básicas, la teoría depende del enfoque numérico. La derivación adicional generalmente procede por el principio del trabajo virtual para derivar una forma débil de elementos finitos. Se pueden encontrar revisiones de la mecánica de modelado y los enfoques de elementos finitos en la literatura, p. Ej. Holzapfel [26] o Bonet & # x00026 Wood [27]. Independientemente de la discretización utilizada, las ecuaciones son inherentemente no lineales y se introduce una no linealidad adicional cuando se utiliza una función de energía de deformación no lineal. W(mi), que es la norma en simulaciones de mecánica cardíaca. Para maximizar el número de participantes y fomentar una amplia gama de soluciones, no hemos hecho ningún requisito o recomendación particular para enfoques numéricos específicos al definir los problemas de referencia.

    (b) Derecho constitutivo

    El tejido cardíaco consiste en una malla de colágeno con células del músculo cardíaco o & # x02018cardiomiocitos & # x02019. Los cardiomiocitos son aproximadamente 100 & # x000d710 & # x000d710 & # x02009 & # x003bcmetro de tamaño, con un eje largo distinto, a menudo denominado & # x02018fibre direction & # x02019. Teniendo en cuenta, la dirección de la fibra conduce a modelos con una ley constitutiva isotrópica transversal [28 & # x0201330]. Además, se han identificado láminas laminares, con más enlaces de colágeno entre las células de una lámina, en comparación con las láminas. Tener en cuenta estas láminas da lugar a una ley de materiales ortotrópicos [31 & # x0201334]. Sin embargo, el examen histológico muestra que, si bien las láminas están claramente presentes en el miocardio medio, su presencia no es uniforme en toda la pared del miocardio [35]. Además, definir un problema con las propiedades de un material ortotrópico requiere una descripción del problema más compleja, y no todos los participantes tienen un software que admita la simulación de este tipo de material.

    Para los problemas de referencia, utilizamos la ley constitutiva isotrópica transversal de Guccione. et al. [28]. Se anticipó que esta ley constitutiva sería la más ampliamente implementada por los participantes potenciales porque es relativamente simple y ha sido ampliamente utilizada en modelos cardíacos. Su función de energía de deformación está dada por

    dónde miij son componentes del tensor de deformación Green & # x02013 Lagrange mi en un sistema de coordenadas ortonormal local con fibras en el mi1-dirección, y donde C,BF,Bt,Bfs son los parámetros materiales que se definirán para cada uno de los tres problemas por separado. En todos los problemas, el material es completamente incompresible, es decir J= 1 como se indica en la ecuación (2.2). Tenga en cuenta que en todos los problemas la dirección de la condición de límite de presión cambia con la orientación de la superficie deformada, y su magnitud escala con el área deformada. No hubo restricciones sobre los métodos utilizados para satisfacer la incompresibilidad, y los participantes utilizaron tanto los métodos del multiplicador de Lagrange como los enfoques de cuasi-incompresibilidad con funciones de penalización para satisfacer esta restricción.

    (c) Descripciones de problemas

    Las siguientes secciones ofrecen una descripción completa y reproducible de cada uno de los tres problemas de referencia distribuidos a los participantes. Además de una formulación de elasticidad de deformación grande incompresible y una descripción de la ley constitutiva, se requerían cinco componentes adicionales para una definición de problema reproducible: una definición de problema reproducible requiere cinco partes adicionales: una geometría de problema, los parámetros del material (C,BF,Bt,Bfs), una descripción completa de la dirección de la fibra en toda la geometría, las condiciones de límite de Dirichlet y las condiciones de límite de presión aplicada. Cada uno de los tres problemas prueba diferentes aspectos importantes para los solucionadores de la mecánica cardíaca. El primer problema es la simulación de una viga rectangular que se deforma. Este problema prueba fuerzas de tipo presión cuyas direcciones cambian con la orientación de la superficie deformada, y la implementación correcta de las direcciones de las fibras que cambian con la deformación, la ley constitutiva transversalmente isotrópica y las condiciones de frontera de Dirichlet. Este problema utiliza una geometría de malla simple, lo que facilita la prueba rápida de nuevos códigos y proporciona una prueba de verificación inicial. El segundo problema es el inflado de un elipsoide con propiedades de material isotrópico. El problema prueba la reproducción de una geometría de malla a partir de una descripción y un patrón de deformación similar al inflado cardíaco. El tercer problema es el inflado y la contracción activa de un elipsoide con propiedades de material transversalmente isotrópicas. El problema prueba la reproducibilidad de patrones complejos de fibra y la implementación de la contracción activa, ambos aspectos importantes de un solucionador de mecánica cardíaca. El uso de dos problemas en la misma geometría inicial permite a los participantes del punto de referencia generar una geometría de malla y verificar primero la inflación, antes de que la fuente de errores potenciales se combine con la implementación de la contracción activa y las direcciones de la fibra. Esto tiene como objetivo facilitar la localización de posibles errores en una implementación.

    (i) Problema 1: deformación de una viga

    La Figura 1 muestra la geometría del problema y una solución representativa.

    Problema 1: Deformación de una viga con la geometría de referencia (abajo) y una solución de ejemplo (arriba). El nodo verde indica la posición de los resultados en la figura 3, la línea roja indica la línea utilizada para los resultados en la figura 4 y los puntos azules indican las ubicaciones utilizadas en los cálculos de deformación. (Versión online en color).

    Dirección de la fibra: constante a lo largo del eje largo, es decir (1, 0, 0).

    Condiciones de frontera de Dirichlet: la cara izquierda (X= 0) está fijo en todas las direcciones.

    Condiciones límite de presión: se aplica una presión de 0,004 & # x02009kPa a toda la cara inferior (z=0).

    (ii) Problema 2: inflación de un ventrículo

    La Figura 2 muestra la geometría del problema y una solución de ejemplo.

    Problemas 2 y 3. Paneles (a,B) muestran la geometría de referencia para el problema 2 (inflación de un ventrículo) y 3 (inflación y contracción activa de un ventrículo). Los nodos verdes indican la posición apical utilizada en los resultados de las figuras 6 y & # x200B y 9, 9, y la línea roja indica la línea utilizada para los resultados de la figura 7 y & # x200B y10. 10. Los nodos azules se utilizan para los cálculos de deformación como se describe en & # x000a73, con el panel (a) mostrando solo nodos en v= 0 y panel (B) mostrando ambos nodos en v= 0 y v=& # x003c0/ 10 utilizado para cálculos de deformación circunferencial. Panel (C) muestra un ejemplo de solución al problema 2. Panel (D) muestra las direcciones de las fibras utilizadas en el problema 3, que varían desde & # x0221290 & # x000b0 en el epicardio hasta + 90 & # x000b0 en el endocardio. Paneles (mi,F) muestran diferentes vistas laterales de un ejemplo de solución al problema 3, y el panel (gramo) muestra una vista desde la base. (Versión online en color).

    Geometría: la geometría no deformada se define mediante la parametrización de un elipsoide truncado:

    La geometría no deformada se define por el volumen entre:

    & # x02014 & # x02003the plano base z= 5 & # x02009mm que está implícitamente definido por los rangos para tu.

    Condiciones de frontera de Dirichlet: el plano base (z= 5 & # x02009mm) se fija en todas las direcciones.

    Condiciones límite de presión: se aplica una presión de 10 & # x02009kPa a la superficie endocárdica.

    (iii) Problema 3: inflación y contracción activa de un ventrículo

    Geometría, condiciones de contorno de Dirichlet: idéntico al problema 2.

    Definición de fibra: ángulos de fibra & # x003b1 utilizados en este problema de referencia van desde & # x0221290 & # x000b0 en la superficie epicárdica hasta + 90 & # x000b0 en la superficie endocárdica. Estos ángulos se eligieron para permitir una fácil inspección visual de las direcciones de las fibras generadas, a pesar de ser más pronunciadas que las medidas en los experimentos DTMRI [36]. Se definen utilizando la dirección de las derivadas de la parametrización del elipsoide en la ecuación (2.6).

    dónde rs, rl y & # x003b1 se derivan de la distancia transmural t& # x02208 [0,1] que varía linealmente desde 0 en el endocardio y 1 en el epicardio. El ápice (tu= & # x02212& # x003c0) tiene una singularidad de fibra que es común en problemas de mecánica cardíaca. No se prescriben enfoques específicos para manejar esta singularidad y todos los enfoques se consideraron aceptables.

    Contracción activa: la tensión activa viene dada por una segunda tensión Piola & # x02013Kirchhoff constante y homogénea en la dirección de la fibra de 60 & # x02009kPa, es decir

    dónde Ta= 60 & # x02009kPa, F es el vector de columna unitaria en la dirección de la fibra descrita anteriormente, y la tensión pasiva Tpag= & # x02202W/ & # x02202mi como en la ecuación 2.3.

    Condiciones límite de presión: se aplica una presión constante de 15 & # x02009kPa al endocardio. Como se trata de un problema casi estático, los participantes son libres de agregar estrés activo primero, agregar presión primero o incrementar ambos simultáneamente para encontrar una solución. La Figura 2 muestra la geometría del problema y una solución de ejemplo.

    (d) Participantes

    La Tabla 1 enumera los participantes y los métodos computacionales que utilizaron. Aunque no era necesario utilizar un método computacional específico, todos los participantes utilizaron métodos de elementos finitos, ya que son los más comunes en el campo de la mecánica cardíaca.

    Tabla 1.

    Descripción general de los métodos y software utilizados por los participantes del benchmark de mecánica. Los superíndices en la columna & # x02018affiliations & # x02019 se refieren a los detalles de la institución contribuyente que se encuentran en la página del título. A continuación, se proporcionan detalles sobre los orígenes y la disponibilidad del código fuente abierto para los grupos que usan código disponible públicamente. El & # x02018method & # x02019 resume el tipo de elementos finitos utilizados, con & # x02018QX& # x02019 refiriéndose al pedido X elementos hexaédricos, & # x02018PX& # x02019 para ordenar X elementos tetraédricos y & # x02018QXQy& # x02019, & # x02018PXPAGy& # x02019 para ordenar X elementos de deformación y orden y elementos para el multiplicador de Lagrange. Cuando se enumeran dos tipos de elementos, el primero se utilizó para el problema 1 y el segundo para los problemas 2 y 3. I / D denota el uso de un enfoque con división isocórica / desviadora del gradiente de deformación.

    nombre claveafiliacióntiporeferenciasmétodo
    CardioideIBM 2 en casa[8]Q2Q1 / P2P1, multiplicador de Lagrange, I / D
    CardioMecánicaKIT 5 en casa[2]P2, casi incompresible
    CARPAGraz 1,4 en casa[37]P1P0, casi incompresible, I / D
    ElecmechKCL 1 en casa[38,39]Q3Q1, multiplicador de Lagrange
    GlasgowHeart-IBFEGlasgow 10,12 en casa[40]Q1, IB / FE a
    Hopkins-MESCALHopkins 6 en casa Q1P0, multiplicador de Lagrange
    LifeVDuque 15 código abierto b [41,42]P2, casi incompresible
    MOOSE-EWEUSI 9 mixto c [43]Q2Q1 / P2P1, multiplicador de Lagrange, I / D
    OpenCMISSAuckland 3,7,13 fuente abierta d [6]Q3Q1 (hermite), multiplicador de Lagrange, I / D
    Simula-FEniCSSimula 14 código abierto e [44,45]P2P1 f, multiplicador de Lagrange, I / D
    PUC-FEAP g PUC 8,11 fuente abierta[46]Q1P0, multiplicador de Lagrange, I / D

    a IB / FE indica el método de límite sumergido utilizando un modelo de mecánica de elementos finitos, y utilizó el software IBAMR de código abierto disponible en https://github.com/IBAMR/IBAMR.

    b LifeV fue desarrollado por EPFL y está disponible en http://github.com/lifev.

    c MOOSE es de código abierto y está disponible en http://www.mooseframework.org/, EWE es una aplicación interna que utiliza MOOSE.

    e FEniCS fue desarrollado por Simula y está disponible en http://fenicsproject.org, con el código fuente específico del problema disponible en https://bitbucket.org/peppu/mechbench.

    f FEniCS usando elementos bidimensionales en los problemas 2 y 3.

    g PUC-FEAP: no se presentó ninguna solución para los problemas 2 y 3, FEAP disponible en http://www.ce.berkeley.edu/projects/feap/.


    El método de diferencias finitas (FDM)

    11.4 Fórmulas de nueve puntos

    La precisión de la FDM se puede mejorar considerablemente mediante el uso de fórmulas de nueve puntos (Durand, 1966 Kasper, 1976, 1984a, b, 2001 Kasper, 1976 Kasper, 1984a Kasper, 1984b Kasper, 2001). Estos son ventajosos en el caso de una cuadrícula regular. La solución del problema que surge para los puntos de cuadrícula irregular se da a continuación.

    Reconsideramos la ecuación diferencial de la forma general Eq. (11,6). Particularmente asumimos que las funciones coeficientes tienen un factor común α con tu≥0, α≥ – 1, de modo que

    pag(tu, ), q ˆ (tu, tu) y s(tu, tu) ser finito funciones analíticas de sus variables y pag& gt0. Existe una amplia clase de ecuaciones diferenciales que se ajustan a la ecuación. (11,10). Un ejemplo práctico es la ecuación. (11,9) con pag ≡ 1, q ˆ ≡ 0, =r, s=gramo nos encontraremos con otros a continuación. Se puede aplicar el mismo tipo de discretización a todas estas ecuaciones, como resultará obvio a partir de las siguientes consideraciones.

    Primero notamos que al escribir

    Eq. (11.10) colapsa a la forma más simple

    Si consideramos coordenadas cilíndricas, tu=z y =r, todas las ecuaciones diferenciales derivadas en el capítulo 7, Expansiones en serie, se consideran casos especiales de la ecuación. (11,12). Sin embargo, existen importantes ejemplos de representaciones en otros sistemas de coordenadas, como veremos más adelante.

    Al igual que para la discretización de cinco puntos, tenemos que distinguir entre fórmulas en el eje (= 0) y fórmulas fuera del eje (& gt0), y nuevamente, estos pueden tomar diferentes formas. Aquí presentaremos sólo los resultados obtenidos por Kasper (1984a), ya que parecen ser los más favorables para aplicaciones prácticas. Por razones de espacio no podemos reproducir aquí su extensa derivación, que se encuentra en la publicación correspondiente.

    De nuevo usamos una notación con dos subíndices. I=tu/h, k=/h la notación de los coeficientes se explica en las figuras 11.4A y B. Las fórmulas de discretización vienen dadas más convenientemente por un implícito representación en términos de una nueva matriz W, definido por

    Figura 11.4. Notación empleada para los puntos y coeficientes en configuraciones de nueve puntos, (A) Caso general y (B) nodo en el eje.

    La fuera del eje discretización (k ≠ 0) resulta ser

    Los coeficientes están dados por

    (Kasper, 2001, Sección 4.4.1). Este conjunto de coeficientes es obviamente independiente de la longitud de la malla h. Es sensato calcularlo al principio del programa y dejarlo en la tienda.

    En el eje óptico (=0, k= 0) es necesaria una discretización ligeramente diferente. La ecuación (11.15) sigue siendo válida pero en la discretización no solo los coeficientes son diferentes sino que aparecen algunos otros términos:

    el conjunto de coeficientes está dado por

    Para reducir la cantidad necesaria de cálculos y ubicaciones de almacenamiento, reescribimos la Ec. (11.15) en la forma

    de donde el campo V ha sido eliminado. Los conjuntos de coeficientes Cyo, k y Syo, k se calculan una vez al principio y se almacenan. A continuación, los valores límite de W se determinan a partir de la Ec. (11.15) y almacenado. El problema del valor límite para la matriz W ahora se puede resolver usando las ecuaciones (11.16) y (11.18) y con la ecuación. (11.20a) como términos fuente. En este cálculo principal, solo tres matrices, C, S y W, se necesitan simultáneamente. Finalmente la función requerida V se obtiene resolviendo la ecuación. (11.15) para Vyo, k o equivalentemente de

    No hay iteración y los coeficientes C, S y W ya no son necesarios una vez que se han evaluado las expresiones del lado derecho.


    Modelado multiescala de lecho de polvo y fabricación aditiva basada en # x2013

    Los procesos de fusión en lecho de polvo son tecnologías de fabricación aditiva que se espera que induzcan la tercera revolución industrial. Los componentes se construyen capa por capa en un lecho de polvo mediante la fusión selectiva de áreas confinadas, de acuerdo con los datos del modelo 3D cortados. Esta técnica permite la fabricación de geometrías muy complejas difícilmente mecanizables con tecnologías convencionales. Sin embargo, los fenómenos físicos subyacentes se comprenden escasamente y son difíciles de observar durante el procesamiento. Por lo tanto, se aplica un principio de prueba y error intensivo y costoso para producir componentes con la precisión dimensional, las características del material y las propiedades mecánicas deseadas. Esta revisión presenta enfoques de modelado numérico en múltiples escalas de longitud y escalas de tiempo para describir diferentes aspectos de los procesos de fusión en lecho de polvo. En combinación con experimentos personalizados, los resultados numéricos amplían la comprensión del proceso de los mecanismos físicos subyacentes y apoyan el desarrollo de estrategias de proceso y topologías de componentes adecuadas.


    Ver el vídeo: EL MAYOR PROBLEMA DE ESTADOS UNIDOS (Enero 2022).