Astronomía

Razones de magnitudes en lugar de diferencias

Razones de magnitudes en lugar de diferencias

La Indice de color en el sistema fotométrico se define por las diferencias de magnitudes entre dos filtros de longitud de onda, lo que da la relación de intensidades. Por ejemplo, para determinar el índice B-V, necesitaría las magnitudes en la banda B (que está centrada en $ lambda = 445 $ nm) y en la banda V, centrada en $ lambda = 551 $ nm.

Pero, ¿qué pasa con otras operaciones? Por ejemplo, ¿tendría alguna importancia tomar, digamos, la relación $ B / V $ o $ B veces V $?


La definición de una magnitud es algo así como $$ B = -2.5 log_ {10} f_B + Z_B, $$ donde $ f_B $ es un flujo físico en cualquier sistema de unidades que esté usando y $ Z_B $ es un punto cero para la magnitud sistema y el signo menos está ahí para asegurar que las magnitudes pequeñas sean más brillantes.

Por lo tanto, un índice de color es algo así como $$ BV = -2.5 log_ {10} f_B + 2.5 log_ {10} f_V + Z_B - Z_V = -2.5 log_ {10} frac {f_B} {f_V} + Z_ { BV} $$

Ahora, pensemos en lo que está preguntando.

$$ BV = (-2.5 log_ {10} f_B + Z_B) (- 2.5 log_ {10} f_V + Z_V) $$ $$ BV = -2.5Z_v log_ {10} f_B -2.5Z_B log_ {10 } f_V + Z_ {B} Z_V -2.5 log_ {10} f_B ^ {- 2.5 log_ {10} f_V} $$

Esta numerología no tiene ningún significado físico y, debido a que los propios flujos dependen de la distancia, entonces, como $ B $ y $ V $ individualmente, $ BV $ y $ B / V $ serían dependientes de la distancia y, por lo tanto, no tendrían relación con cualquier cosa física que sea intrínseca a la estrella.


La magnitud es logarítmica, por lo que tomar la diferencia entre dos valores es efectivamente lo mismo que tomar la relación entre los dos valores no registrados.


Considere, por ejemplo, estas estrellas brillantes (valores V y B-V del catálogo de estrellas brillantes de Yale). Cerca de V = 0, B / V se porta mal y B * V está cerca de 0.

Nombre B V B-V B / V B * V Arcturus 1.19 -0.04 +1.23 -29.7 -0.05 Vega 0.03 0.03 0.00 1.00 0.00 Capella 0.88 0.08 +0.80 11.0 0.07 Rigel 0.09 0.12 -0.03 0.75 0.01

Ahora imagina que cada una de esas estrellas estuviera 10 veces más lejos. Descuidando la extinción interestelar, esto disminuiría el brillo aparente en un factor de 100 y aumentaría la magnitud aparente en 5.0. A medida que B y V aumentan juntos, B / V se acerca a 1 y B * V se acerca a V ^ 2, sin decirnos nada significativo sobre una estrella determinada.

Nombre B V B-V B / V B * V Arcturus 6.19 4.96 +1.23 1.25 30.7 Vega 5.03 5.03 0.00 1.00 25.3 Capella 5.88 5.08 +0.80 1.16 29.9 Rigel 5.09 5.12 -0.03 0.99 26.1

B-V, por otro lado, ha resistido la prueba del tiempo como una métrica independiente de la distancia del color de una estrella y la temperatura de la superficie.


Razones de magnitudes en lugar de diferencias - Astronomía

La magnitud fue originalmente una forma de clasificar las estrellas por brillo para facilitar la identificación, y apareció en el catálogo de estrellas de Claudio Ptolomeo. Las estrellas más brillantes eran de 1ª magnitud, mientras que las más tenues que se podían ver en un cielo oscuro y despejado eran de 6ª magnitud. Los intermedios se clasificaron en pasos de brillo aproximadamente iguales. Dado que el ojo juzga que diferencias iguales en brillo corresponden a proporciones iguales de intensidad, que tomamos como dadas por el flujo de energía o su equivalente, en ergios / s, vatios o lumen, esto resulta ser una escala logarítmica. Si una estrella de la quinta magnitud es "a" veces más brillante que una estrella de la sexta magnitud, entonces una estrella de la cuarta magnitud es "a" veces más brillante que una de la quinta, o 2 veces más brillante que una. del sexto. Continuando con este esquema, una estrella de primera magnitud es 5 veces más brillante que una de sexta magnitud.

El brillo es una percepción, mientras que la energía recibida como radiación electromagnética, a la que llamaremos intensidad o iluminación, es un estímulo físico. La intensidad se mide en energía por unidad de tiempo por unidad de área, digamos en ergio / s-cm 2 o W / m 2. La intensidad luminosa es una cantidad psicofísica que pondera la energía según su efecto sobre el ojo. La unidad habitual es el lumen y, a la frecuencia de máxima sensibilidad del ojo, 680 lm = 1 W. Para un espectro de intensidad constante, la relación en el rango visual de 400 nm a 700 nm es de unos 220 lm / W. El lumen no es una medida de brillo, sino de estímulo visual. El brillo es una función logarítmica del estímulo visual. Si definimos el brillo como el logaritmo común, entonces un aumento en la energía en un factor de 10 aumenta el brillo en 1 unidad, y un aumento en un factor de 100 aumenta el brillo en 2 unidades. Podemos ajustar la escala por un factor numérico multiplicando el logaritmo, o por un cero arbitrario. Es decir, podemos definir el brillo por B = A log I + B, donde A y B son constantes e I es la intensidad o estímulo visual por unidad de área. Esto es equivalente a la expresión equivalente B = A log (I / I '), donde I' es una intensidad de referencia y B = -A log I '. Puedo medirme en lúmenes / m 2 o lux, si nos preocupa el brillo visual. Ahora establecemos una escala de brillo estelar sobre esta base.

La escala logarítmica es una extensión de la escala original de magnitudes, no restringida al rango de 1 a 6, pero capaz de extenderse en ambas direcciones. En el catálogo de Ptolomeo, todas las estrellas más brillantes eran de primera magnitud, pero con la escala logarítmica podemos definir una magnitud cero "a" veces más brillante que la primera magnitud, y -1 magnitud "a" veces más brillante que esa. De hecho, Betelgeuse está cerca de la magnitud 1 (en realidad 0,9), Vega cerca de la magnitud 0 (en realidad 0,1) y la estrella más brillante de todas, Sirio, es de magnitud -1,6. En el siglo XIX, se concluyó que la relación "a" era tal que 5 = 100, o una estrella de primera magnitud, era 100 veces más intensa que una estrella de sexta magnitud. Es decir, suministró 100 veces más lúmenes al ojo. He evitado usar "brillo" aquí para que ese término pueda usarse para la sensación, no para su estímulo físico. Por lo tanto, 5 log a = 2, o log a = 0.4, o a = 2.5119. El logaritmo es en base 10, lo cual es conveniente debido a la relación 100 que aparece. La relación entre la relación de intensidad y las magnitudes es entonces I / I o = 100 -m / 5, donde m es la diferencia de magnitud. El signo (-) hace que la diferencia de magnitud sea negativa para una razón mayor que 1. Tomando el logaritmo, - (2/5) m = log (I / I o), om = -2.5 log (I / I o). Para cualquier relación de intensidad, esto nos dará la diferencia de magnitud. Todo esto corresponde a elegir la constante A en la relación logarítmica.

Si usamos logaritmos naturales en su lugar, m = -1.0857 ln (I / I o). Dado que el coeficiente está cerca de la unidad, esto es aproximadamente I = I o e -m, de modo que el factor "a" (2.5119) está cerca de "e" (2.7183). Es curioso que las magnitudes correspondan aproximadamente a las potencias de e. No usaremos más logaritmos naturales.

Las magnitudes son análogas a la unidad de decibelios utilizada para especificar las relaciones de potencia. Esta relación es dB = 10 log (I / I o), de modo que dB es -4 veces la diferencia de magnitud. Los decibelios podrían usarse en astronomía para el brillo estelar, y luego un gran número correspondería a una estrella brillante, un número pequeño a una estrella tenue. Sin embargo, esto no se hace, y las magnitudes negativas corresponden a estrellas brillantes, las grandes positivas a estrellas tenues.

Como en el caso de los decibeles, si se citan magnitudes en lugar de simplemente diferencias de magnitud, se debe dar una magnitud de referencia. Además, se deben especificar los poderes que aparecen en la relación. La cantidad apropiada para el estímulo visual es el lumen, que se puede especificar físicamente como un espectro de densidad de energía multiplicado por una función de sensibilidad. La función de sensibilidad tiene un pico de 1 a una longitud de onda de 555 nm, donde 680 lumen = 1 vatio. Las magnitudes correspondientes se denominan magnitudes visuales. El ojo hará automáticamente la ponderación espectral y los brillos se pueden comparar ajustando un filtro neutro frente a una fuente hasta que las dos fuentes se consideren igualmente brillantes. Se puede hacer una comparación similar físicamente midiendo el espectro de energía, digamos w (f) en vatios / s-cm 2, de modo que la energía incidente entre las frecuencias f y f + df sea w (f) df. La longitud de onda & lambda se podría usar además de f, ya que & lambdaf = c, donde c es la velocidad de la luz. Generalmente usaremos f como variable independiente. Algunos de nuestros resultados serán diferentes de los que utilizan longitudes de onda, ya que los intervalos de frecuencias iguales no son intervalos de longitudes de onda iguales, y viceversa. Entonces, el estímulo total es & ints (f) w (f) df, donde s (f) es la función de sensibilidad.

La intensidad de una onda de luz que se extiende de forma esférica viene dada por I = I o / r 2, donde I o es la intensidad en r = 1. Entonces m = -2.5 log (I / I o) = -2.5 (-2 log r ) = 5 log r. Realmente deberíamos haber usado también una razón de distancia, (r o / r), por lo que el argumento del logaritmo sería adimensional, pero la ecuación más simple servirá, ya que I o ha desaparecido. Si M es la magnitud cuando r = 10, y m la magnitud a cualquier distancia, entonces m = M + 5 log (r / 10) = M - 5 + 5 log r. Ésta es una relación bastante famosa en astronomía, si r es la distancia en parsecs. Tenga en cuenta que seguirá siendo cierto independientemente de la unidad que usemos para r, ya que M siempre será la magnitud (con respecto a cualquier estándar) cuando r = 10. Ésta es la belleza de las relaciones logarítmicas. Si r está en parsecs, entonces M se llama magnitud absoluta, la magnitud visual aparente con la estrella a esa distancia. Por cada duplicación de la distancia, la magnitud aumenta en 5 log 2 = 1,505.

El paralaje p de una estrella es el ángulo subtendido en la estrella por el radio de la órbita de la tierra, a, o pd = a, donde d es la distancia de la estrella. Ahora, p "= 206,265 p (radianes), entonces d = 206,265 (a / p"). La distancia en parsecs es simplemente r = 1 / p ". Entonces, m = M - 5 - 5 log p", o log p "= - (m - M + 5) / 5, a partir de la cual la paralaje de la estrella ( y así su distancia) se puede encontrar si se conocen las magnitudes aparente y absoluta. Note que si m = M, encontramos log p "= -1, o p" = 0.1 ", una distancia de 10 parsecs. El sol tiene una magnitud visual aparente de -26,8 a una distancia de 1 AU, o p = 1 radianes = 206265 ". A partir de esto, encontramos que M = m + 5 + 5 log p" = -26,8 + 5 + 5 log 206265 = 4,77. Esta es la magnitud absoluta del sol, o su magnitud visual cuando se ve desde una distancia de 10 parsecs.

1 pársec es 206,265 AU = 206,265 x 1,496 x 10 11 m = 3,086 x 10 16 m. Un año es 3.156 x 10 7 s, y la luz viaja a 2.9979 x 10 8 m / s, o 9.460 x 10 15 m en un año, una distancia llamada año luz, ly. Por lo tanto, 1 psc = 3,2620 ly. Los años luz solo sirven para dar una idea de la inmensidad del espacio. La luz tarda 8.317 minutos en llegar a la tierra desde el sol, 1.28 s en llegar a la tierra desde la luna (de centro a centro), 0.13 s en dar la vuelta al globo y 5.48 horas en llegar desde el sol a Plutón.

Podemos calibrar la escala de magnitudes visuales, determinando la constante B en la función logarítmica, usando dos hechos: primero, la magnitud aparente del sol m es -26.8, y segundo, su luminancia L es 1.6 x 10 5 cd / cm 2, del Manual de Química y Física. Puede parecer extraño que el sol tenga una luminancia citada de esta manera, pero el área proyectada del sol aumenta con el cuadrado de la distancia, al mismo tiempo que la iluminación disminuye al mismo ritmo. El área aparente del sol es A = & pir 2 & theta 2, donde & theta es el semidiámetro angular, 16 'o 4,65 x 10 -3 radianes. Su intensidad C en velas es entonces & pir 2 & theta 2 L. La iluminación a una distancia r es entonces I = C / r 2 = & pi & theta 2 L lm / cm 2, donde r se ha cancelado según lo prometido. Esto da I = 10,9 lm / cm 2 o 109 000 lux. Ésta es una estimación de la iluminación máxima normal a la dirección del sol. [En iluminación, la intensidad luminosa de las velas suele estar representada por I, y la iluminación por E, pero usamos C e I para ser consistentes con nuestra notación al definir la magnitud.]

La definición de magnitud da m = -2.5 log (I / I '), donde I' es la iluminación correspondiente a m = 0. Por lo tanto, -26.8 = -2.5 log (109000 / I ') = -12.59 + 2.5 log I ', o log I' = -5,68, I '= 2,077 x 10 -6 lux. Ahora tenemos una escala absoluta para magnitudes: m = -2.5 log I - 14.2, donde I está en lux. Ahora, ambas constantes A y B se han determinado en la función logarítmica. Para comprobarlo, la magnitud aparente de la luna llena es -12,6, mientras que su luminancia se calcula como 0,25 cd / cm 2. Dado que la luna subtiende aproximadamente el mismo ángulo que el sol, la iluminación sería I = & pi (4.65 x 10 -3) 2 (0.25) (10 4) = 0.17 lux. Esto da m = -12,3, que no está demasiado lejos. Concluimos que una buena estimación de la iluminación correspondiente a una magnitud visual m es I = 2.1 x 10 -6 10 -0.4m lux.

La magnitud de Venus en su punto más brillante es de aproximadamente -4,4. Esto corresponde a I = 1,2 x 10 -4 lux. Sirio, en m = -1,6, da I = 9,2 x 10 -6 lux. Cuando miramos a Venus o Sirio, la luz que entra en la pupila se concentra en la imagen, lo que permite que se detecte fácilmente. Si miramos una fuente extendida, entonces los ángulos sólidos se magnifican inversamente al tamaño de las áreas de la imagen, por lo que la iluminación permanece constante. Un telescopio no ilumina áreas extensas, pero concentra áreas limitadas. También está bastante claro que el ojo se adapta a grandes diferencias de iluminación, desde los 100.000 lux de luz solar hasta los 0,2 lux de luz de la luna. Esta adaptación es necesaria para que el ojo sea útil en general, y es una maravillosa evidencia del poder de la evolución. Esta adaptación está en la química y fisiología de la visión, no en el menor grado de control que ejerce el tamaño de la pupila, que actúa más para proporcionar una visión nítida cuando hay suficiente luz al detener la apertura del ojo, como máximo una variación de alrededor de 16 en el área, muy lejos del factor de 500.000 que realmente existe. Matemáticamente, expresamos esto diciendo que el brillo (la sensación) es una función logarítmica de la iluminación (el estímulo físico).

La luminosidad de una estrella se define convencionalmente como la relación entre su salida de flujo visual y la del sol. Como nos interesa una relación, se puede expresar como una diferencia de magnitud & Deltam = -2.5 log (I / I s), y esta diferencia de magnitud puede ser la diferencia en las magnitudes absolutas de la estrella y el sol. Esta es la misma diferencia de magnitud que existiría a cualquier distancia, por supuesto. Entonces, M - M s = -2.5 log (I / I s), o L = I / I s = 10 (0.4) (M - 4.77). Como se define habitualmente, esta es la proporción de salidas visuales, que de ninguna manera es la misma que la proporción de salidas totales. Para las estrellas de las clases espectrales F5 a G5, probablemente no será muy diferente que la proporción de salidas totales, pero será muy diferente para las estrellas de clase M, que irradian principalmente en el infrarrojo, o las estrellas de clase O, que irradian principalmente en el ultravioleta. Ahora consideraremos cómo corregir la luminosidad para esta circunstancia.

Radiación de cuerpo negro

La radiación electromagnética de una estrella cubre una amplia banda de frecuencias. Es como la radiación que emite una pequeña abertura en la pared de un resonador de cavidad en la que las ondas electromagnéticas se excitan térmicamente a una temperatura T. Dado que toda la radiación que cae sobre la pequeña abertura entrará en la cavidad con muy poca probabilidad de volver a salir. , la apertura aparece "negra", es decir, absorberá toda la radiación que caiga sobre ella. En equilibrio térmico, emitirá exactamente tanta radiación como absorbe. En ausencia de equilibrio térmico, cuando no hay radiación a su alrededor, seguirá emitiendo exactamente la radiación que emitiría si estuviera en equilibrio a la temperatura T. Esto se denomina, por tanto, radiación de "cuerpo negro".

Si U es la energía isotrópica en la cavidad del volumen V, entonces la emisión por unidad de tiempo por unidad de área es J = cU / 4V. La energía U es la integral sobre frecuencia de 0 a & infin del número de modos electromagnéticos N (f) df multiplicado por su energía fotónica hf multiplicado por la probabilidad de que un modo de frecuencia f se excite a la temperatura T. N (f) es proporcional a f 3, mientras que la probabilidad de excitación es 1 / (e hf / kT - 1). Sea x = hf / kT, la relación adimensional entre la energía del fotón hf y la energía de excitación térmica promedio por modo kT. h es la constante de Planck, 6.626 x 10 -34 J-s, y k es la constante de Boltzmann, 1.3807 x 10-23 J / K. La energía del fotón en eV para una longitud de onda & lambda nm es 1240 / & lambda. La energía térmica en eV para una temperatura de TK es 8.619 x 10 -5 T. Por lo tanto, la energía del fotón para la luz verde de 555 nm es 2.23 eV, y la energía térmica para 10,000K es 0.8619 eV, entonces x = 2.59 para 555 radiación nm y 10,000 K.

Si expresamos N (f) gl y la probabilidad en términos de x, el número de estados disponibles aumenta cuando x 3, mientras que la probabilidad de excitación varía como 1 / (e x - 1). El producto de estos dos factores da la energía en función de la frecuencia, y su integral de 0 a & infin es proporcional a la energía total U en el volumen V. Esto se ilustra en la figura de la derecha. La función varía como x 2 para x & lt & lt 1, y como x 3 e -x para x & gt & gt 1. Prácticamente toda la energía está incluida desde x = 0 hasta x = 12. La integral de la función x 3 / (ex - 1 ) es & pi 4/15 = 6,4939. El resultado para cU / 4V es J = 5.67 x 10 -12 T 4 W / m 2, llamado Ley de Stefan. Ésta es la tasa total de radiación, en todas las frecuencias. La cantidad irradiada en el intervalo de frecuencia de f af + df es el valor de x 3 / (e x - 1) multiplicado por gl, dividido por 6.4939, multiplicado por el total de J.

El máximo de la curva ocurre en x = 2.82, o hf = 2.82kT, de lo cual podemos encontrar que & lambdaT = 5.102 x 10 6 nm-K. Este es el pico de emisión por unidad de intervalo de frecuencia. Dado que los intervalos de frecuencia y longitud de onda están relacionados por df = - d & lambda / & lambda 2, la densidad de energía por unidad de intervalo de longitud de onda es proporcional ax 5 / (e x - 1), donde x = hc / & lambdakT. El máximo de esta curva está en x = 4.96, lo que da & lambda max T = 2.901 x 10 6 nm-K. La regla de que & lambda max T = constante se llama Ley de Wien, en cualquier caso. El máximo depende de la expresión del espectro que esté utilizando y, en realidad, no tiene un gran significado por sí mismo. Aunque el resultado del intervalo de longitud de onda se cita con más frecuencia, el resultado del intervalo de frecuencia puede ser más significativo. Para la radiación solar a 5750 K, los máximos están a 505 nm y 887 nm, respectivamente.

Un cuerpo real puede no emitir tan eficientemente como un cuerpo negro, y esto se tiene en cuenta mediante un factor & épsilon (f), llamado emisividad. La emisividad nunca es mayor que la unidad y generalmente es función de la frecuencia.A falta de mejor información, la emisividad de una estrella generalmente se toma como 1, excepto por (usualmente) estrechas líneas oscuras en el espectro emitido. Es decir, la radiación emitida es típica de un cuerpo negro a la temperatura T de la fotosfera de la estrella, mientras que la cromosfera superpuesta más fría produce líneas oscuras en el espectro. El mejor ejemplo es el sol, que irradia típicamente T = 5750K, y el espectro está atravesado por las líneas oscuras y estrechas de Fraunhofer.

La sensibilidad espectral del ojo se extiende en su límite más lejano de 380 nm a 765 nm, pero un rango de 400 nm a 700 nm incluye la mayor parte de su sensibilidad. Las longitudes de onda más cortas son ultravioleta y las más largas son infrarrojas. En el fondo de la atmósfera terrestre, podemos recibir lo visible, una cantidad considerable de infrarrojos y un poco de ultravioleta. Los espectroscopios extraterrestres ahora cubren un rango más amplio, desde rayos X hasta radio, pero el estudio principal de la luz estelar se ha realizado en el rango visible. Es notable que la mayoría de las estrellas forman una secuencia continua y unidimensional desde estrellas calientes y masivas hasta estrellas más frías y ligeras, expresada en el diagrama de Herzsprung-Russell de luminosidad frente al tipo espectral.

La clase espectral de una estrella se decide por la naturaleza de las líneas oscuras que interrumpen el continuo del cuerpo negro. Es esencialmente una serie de temperaturas, ya que varios átomos se excitan térmicamente en diferentes grados. Las clases espectrales son O, B, A, F, G, K y M, con un índice de 0 a 9 en cada clase. Las estrellas de tipo O son extremadamente calientes, con O5 a 50.000 K. Las temperaturas son: B0, 21,000K A0, 10,600K F0, 7100K G0, 5760K K0, 4900K M0, 3,400K. Las estrellas gigantes son estrellas de densidad mucho más baja que las estrellas de la secuencia principal, por lo que no se requiere una temperatura tan alta para producir la misma ionización. Las temperaturas de las estrellas gigantes son: G0, 5300K K0, 4000K M0, 3000K y M8, 2000K. Una vez que se conoce el tipo espectral de una estrella, su magnitud absoluta se puede adivinar con bastante precisión. Entonces, dado que conocemos su magnitud aparente, su distancia (paralaje) se puede encontrar como hemos mostrado anteriormente. Este es el llamado paralaje espectroscópico.

El fotocátodo de tipo S4 tiene una respuesta que se extiende desde 300 nm hasta 600 nm con un pico a 400 nm. Responde mejor a la luz azul que el ojo. Dado un espectro de energía, por ejemplo el de un cuerpo negro, podemos determinar la respuesta de un fotodetector (generalmente un fotomultiplicador). Estas respuestas se pueden utilizar para establecer una escala de magnitud exactamente como en el caso visual. Sin embargo, no existe una relación natural predeterminada entre las dos escalas, ya que corresponden a distintas sensibilidades espectrales. Para establecer una relación, se toma como estándar la radiación de una estrella de tipo A0 a 10.600K, y la magnitud azul o fotográfica B se toma como igual a la magnitud fotográfica V. El término "fotográfico" recuerda el uso de fotografías sensibles al azul. placas, mientras que "fotovisual" se refiere a algún medio objetivo de determinar la magnitud visual, quizás mediante el uso de filtros. Para especificar las cosas definitivamente, se deben especificar las sensibilidades espectrales utilizadas para encontrar las magnitudes B y V. La diferencia B - V es el índice de color, CI. Para estrellas más calientes que la clase A0, el CI es negativo, para estrellas más frías es positivo. De hecho, para la clase B0, el CI es -0,33, para la clase F0, +0,33 G0, 0,57 K0, 0,78 M0, 1,45. El CI es una pista del tipo espectral, de la temperatura y de la distribución de energía espectral de la radiación emitida. De hecho, la temperatura de la superficie de una estrella viene dada aproximadamente por T = 7200 / (CI + 0,68) K.

El sol es de clase espectral G0, T = 5750K, por lo que el espectro de energía es como se muestra en la figura de la izquierda. El máximo está a 890 nm, en el infrarrojo cercano. El área correspondiente a la radiación visual se muestra sombreada, correspondiente al 36,5% del total. Para cualquier T, el valor de x correspondiente a 555 nm es x = 26.000 / T, y el rango de x correspondiente a 400 nm a 700 nm es & Deltax = 14.300 / T. Multiplicarlos da una estimación del área dedicada a la radiación visual. Las tablas, o mejor, un programa de computadora que utilice integración numérica, darán resultados más precisos (ver Referencias). Usaremos los resultados de un programa aquí, pero el método aproximado da respuestas razonables. La radiación solar total es 2,74 veces la radiación visible. Esto corresponde a una diferencia de magnitud de m = -2,5 log 2,74 = -1,09. Dado que la magnitud visual absoluta del sol es 4.77, la magnitud bolométrica absoluta será 4.77 - 1.09 = 3.68. El término bolométrico se refiere a la radiación total. Esta es una forma de definir una magnitud bolométrica, que puede ser o no la utilizada por otras autoridades. Sin embargo, la comparación de magnitudes bolométricas definidas de esta manera comparará adecuadamente la producción de energía total de diferentes objetos.

La energía solar total que llega a la órbita terrestre es de unos 1360 W / m 2. Esto corresponde a una emisión total de 3,82 x 10 26 W. El radio del sol es 6,96 x 10 8 m, por lo que su área de superficie es 6,09 x 10 18 m 2. La tasa de emisión es J = 6.27 x 10 7 W / m 2 = 5.67 x 10 -8 T 4, usando la ley de Stefan. A partir de esto, T = 5767 K. Esta es una buena comprobación de que no nos hemos desviado del camino.

El espectro de energía del gigante rojo Antares y alpha Scorpii se muestra a la derecha. Antares es de clase espectral M1, con T = 3000K. El máximo ocurre a 1700 nm, bien en el infrarrojo. Sólo el 0,2% se irradia en el ultravioleta, el 8,1% en el visible y el 91,7% en el infrarrojo. La radiación total es 12,36 veces la radiación visible, o & Deltam = -2,73. Dado que la magnitud visual de Antares es 0,96, su magnitud bolométrica será -1,77. Las magnitudes absolutas correspondientes son -4,7 y -7,43. La distancia de Antares es 41,7 psc, o 440 ly. La proporción de luminosidades bolométricas de Antares y el sol corresponde entonces a 11,2 magnitudes, o una proporción de 30.200. Si consideramos solo la energía visual, la relación es de alrededor de 6100. A pesar de su baja temperatura y el efecto T 4, la estrella es brillante debido a su gran tamaño. De hecho, la combinación de la radiación total y la Ley de Stefan permite encontrar el área de la superficie y a partir de ella el diámetro de la estrella. Cuando se usa la ley de Stefan, se debe considerar la radiación total, no solo la visible. La salida de Antares es de 4,59 x 10 6 W / m 2.

El caso de Sirius y alpha Canis Majoris se ilustra a la izquierda. Sirius es de clase espectral A0 y su temperatura es de 10,600 K. Aquí, la radiación visual corresponde al pico de la curva, con & lambda max = 480 nm. La radiación total es aproximadamente 3,25 veces la radiación visible, por lo que la diferencia de magnitud es de 1,28 magnitudes. La magnitud visual aparente de Sirio es -1,46, magnitud visual absoluta +1,42. La magnitud bolométrica absoluta será entonces 1,42 - 1,28 = 0,14. La diferencia de magnitud relativa al sol es de 3,54 magnitudes, por lo que Sirio irradia 26 veces más energía que el sol. Sirio irradia 52,3% en ultravioleta, 30,8% en visible y 17,0% en infrarrojo.

Si la relación I tot / I vis se traza contra la clase espectral, alcanza un mínimo para la clase F5, y aumenta para las clases anteriores y posteriores. La energía adicional para las clases posteriores se encuentra principalmente en el infrarrojo, mientras que las clases anteriores irradian más ultravioleta. Una estrella de clase O muy caliente a 50.000 K irradia un 98,6% en el ultravioleta, mientras que una gigante M8 fría a 2000 K irradia un 99,2% en el infrarrojo. La estrella de clase O todavía es brillante, debido a su estupenda salida de 3,54 x 10 11 W / m 2, de la cual el 1,1% sigue siendo 3,89 x 10 9 W / m 2, unas 63 veces más que el sol. El gigante M8 es, por otro lado, invisible a menos que sea realmente muy grande, ya que su salida es de solo 9.07 x 10 5 W / m 2, solo 0.0146 la del sol. Para irradiar 100 veces más energía visual, su radio debe ser 83 veces el radio del sol, o 5,8 x 10 10 m, o aproximadamente 0,39 AU, el radio de la órbita de Mercurio. Los gigantes de este tamaño son relativamente comunes, por lo que podemos ver tanto estrellas de clase O como estrellas de clase M8. Mira, omicron Ceti, es de clase M7 y su magnitud absoluta es M = -0,5 como máximo. Una estrella 100 veces más luminosa que el sol tiene una magnitud absoluta de -0,23, así que tenemos una idea del tamaño de Mira.

Las estrellas de clase O, por otro lado, son bastante raras, solo unas 19 son visibles a simple vista, y la mayoría son O8 o posteriores. El más fácil de ver es probablemente & zeta Orionis, mag. 2.05, la estrella más oriental del cinturón, o & zeta Ophiuchi, mag. 2.56, en el medio de la línea de estrellas que cruza el centro de la constelación. Ambos son O9.5, pero aún deberían tener temperaturas un poco por encima de los 30.000 K. El más antiguo es & zeta Puppis, mag. 2.25, clase O5, en declinación de -40 ° C, probablemente la estrella más caliente a simple vista. No muy lejos está & lambda Cephei, mag. 5.04, justo al norte de & zeta, clase O6. Todas estas estrellas son muy brillantes y, por lo general, muy distantes. Las magnitudes absolutas cubren un amplio rango y todas son negativas.

Apéndice: Fotometría

Hemos tenido que utilizar conceptos de fotometría en lo anterior. Aquí se presentan breves explicaciones de estos conceptos, que pueden resultar desconocidos para el lector. Ya hemos definido el lumen, que es el flujo de energía corregido por la sensibilidad del ojo. Ésta es una medida del flujo luminoso F y es la variable básica de la fotometría. La iluminación E es el flujo luminoso recibido por unidad de área, E = F / A. Una fuente puntual isotrópica de intensidad luminosa I emite 4 & piI lúmenes por igual en todas las direcciones. I se mide en velas, cd [en realidad candela]. La iluminación normal a una distancia r de una fuente puntual de intensidad I es entonces E = 4 & piI / 4 & pir 2 = I / r 2. Si r está en metros, entonces E estará en lúmenes / m 2 o lux. Si r está en pies, entonces E estará en pie-velas, o lúmenes / pie 2. Es fácil darse cuenta de que 1 ft-cd equivale a 10,764 lux.

Se pueden hacer definiciones análogas para la potencia radiante como lo son para el flujo luminoso. Generalmente se distinguen por las palabras "radiante" y "luminoso" y los campos se denominan radiometría y fotometría, respectivamente. El análogo de vatios son lúmenes. Lo que usualmente llamamos intensidad se denomina estrictamente excitación, potencia por unidad de área.

Si la fuente no es isotrópica, entonces I es el flujo por unidad de ángulo sólido en la dirección considerada, dF / d & Omega. El flujo total emitido es entonces F = & intId & Omega. El ángulo sólido total en todas las direcciones es de 4 & pi estereorradianes. Si la normal a un área dA forma un ángulo de & theta con una cierta dirección, entonces dA cos & theta es el área proyectada en esa dirección. El flujo que cae sobre dA desde una fuente de intensidad I a una distancia r es entonces dF = (I dA cos & theta) / r 2, por lo que la iluminación es E = dF / dA = (I cos & theta) / r 2.

Las fuentes se pueden distribuir en un área dA con una densidad superficial de B cd / m 2. Si asumimos que las fuentes emiten isotrópicamente, entonces el flujo emitido en un cono entre los ángulos & theta y d & theta desde lo normal hasta dA será dF = 2 & piB sin & theta cos & theta dA, ya que el flujo debe ser proporcional al área proyectada de dA en esta direccion. Integrando de 0 a 90 & deg, encontramos F = & piB. Es decir, una fuente plana de B cd / m 2 emite & pi lúmenes por unidad de área. Una fuente no tiene que emitir isotrópicamente, pero si lo hace, este es el resultado. Esto significa que el flujo es proporcional al área proyectada (hemos asumido esto), por lo que un área parece igualmente brillante, sin embargo, su normal está inclinada hacia la dirección de la vista. Entonces, una esfera que irradia uniformemente aparecerá igualmente brillante en el centro y en las extremidades. Tal esfera irradiará como una fuente puntual de intensidad I = 4 & pir 2 B, si r es el radio de la esfera. El oscurecimiento de las extremidades se observa con el sol, por lo tanto, las fotosferas de estrellas no irradian isotrópicamente, sino preferentemente en una dirección radial.

Suponga que un flujo F cae sobre el área unitaria de una superficie plana reflectante de manera difusa. Parte de este flujo se absorberá y parte se volverá a emitir. Si se vuelve a emitir un flujo F como si la superficie estuviera cubierta con una densidad superficial isotrópica de fuentes, entonces la superficie se llama lambertiana. Por supuesto, no todas las superficies difusas son lambertianas. Una desviación obvia es la superficie reflectante especular. Si B es la densidad superficial de intensidad, entonces tenemos F = & piB, o B = F / & pi. Se dice que una superficie tiene un brillo de 1 lambert si emite 1 lm / cm 2 de manera uniforme. Esto corresponde a un brillo 1 / & pi cd / cm 2. Existe una confusión considerable con respecto a este factor de & pi debido a la doble definición de brillo. Una superficie lambertiana iluminada con 1 lm / cm 2 tendrá un brillo de 1 lambert (L). Será tan brillante como una superficie con un brillo de 0.318 cd / cm 2. También hay foot-lamberts (una superficie de brillo de 1 ft-L emite 1 ft-cd por ft 2, por ejemplo). Los fotometristas han dado nombres tontos a varias cantidades fotométricas. Un metro-lambert también se conoce como apostilb. Un cd / cm 2 se llama stilb, mientras que un cd / m 2 es un nit. 1 lm / cm 2 se llama foto. Estos nombres tontos no tienen que ser recordados, solo use unidades derivadas consistentemente del lumen y la vela.

Referencias

Agradezco a Sarah Ashton por encontrar un error numérico y corregirlo.

R. H. Baker, Astronomía, 6ª ed. (Nueva York: D. Van Nostrand Company, 1955). págs. 318-331. Este es un texto clásico de astronomía general muy legible con excelente información básica, que ilustra el estado de la astronomía en 1955, al comienzo de la radioastronomía y antes de las sondas planetarias.

C. Kittel, Thermal Physics (Nueva York: John Wiley & Sons, 1969). págs. 255-260.

Manual de Química y Física 56ª edición (Cleveland, OH: Chemical Rubber Company, 1975). págs. E-204 a E-208 y E-247.

R. Dibon-Smith, StarList 2000 (Nueva York: John Wiley & Sons, 1992). Un buen catálogo de estrellas brillantes que incluye magnitudes aparentes y absolutas y tipos espectrales.

E. Shulman y C. V. Cox, American Journal of Physics, 65, 1003-1007 (1997) analiza las magnitudes con referencia a una relación más precisa de la intensidad con el estímulo visual.

No es difícil escribir un programa de computadora que integre la distribución espectral y encuentre la salida (energía emitida por unidad de área) para cualquier banda espectral deseada. La regla trapezoidal extendida, presentada en las páginas 136-138 de W. H. Press, et. al., Recetas numéricas en C, 2ª ed. (Cambridge: Cambridge University Press, 1992), funciona muy bien y puede ser la base de un programa útil.

Compuesto por J. B. Calvert
Creado el 22 de marzo de 2003
Última revisión 16 de noviembre de 2009


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KHAYYAM, OMAR xv. Como matemático

Nos han llegado tres tratados matemáticos de Omar Khayyam: (1) un comentario sobre Euclides y rsquos Elementos (2) un ensayo sobre la división del cuadrante de un círculo (3) un tratado de álgebra también escribió (4) el tratado sobre la extracción de la nortela raíz de los números, que no existe.

(1) EL COMENTARIO SOBRE EUCLID & rsquoS ELEMENTOS

Comentario de Khayyam & rsquos sobre las dificultades de ciertos postulados del trabajo de Euclid & rsquos (Resāla fi & scaronarḥ mā a & scaronkala men moṣādarāt ketāb Oqlides) se completó a fines de diciembre de 1077. En este tratado, Khayyam tiene la intención de enmendar y rectificar lo que él considera que son las dificultades más importantes encontradas en el Elementos de geometría, o simplemente el Elementos, una obra en trece libros atribuida a Euclides de Alejandría (fl. ca. 300 BCE). La primera parte del comentario de Khayyam & rsquos trata sobre la teoría de las líneas paralelas, la segunda sobre los conceptos de razón y proporcionalidad, y la tercera sobre la combinación de razones.

Teoría de los paralelos. Euclides (Oqlides) había expuesto la teoría de los paralelos en el primer libro de la Elementos. En él definió las líneas paralelas como "líneas rectas que, estando en el mismo plano y produciéndose indefinidamente en ambas direcciones, no se encuentran en ninguna dirección" (Heath, I, p. 154). Sin embargo, una parte importante de la teoría se basaba en una afirmación que Euclides había postulado al comienzo del mismo libro, es decir, el Postulado paralelo: `` Que, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores estén del mismo lado Menos de dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente, se encuentran en el lado en el que están los ángulos menores que los dos ángulos rectos y rdquo (Heath, I, p. 155). Durante casi dos mil años, los matemáticos estuvieron insatisfechos con esta afirmación, que siempre consideraron como una proposición a demostrar más que a un postulado a ser admitido.

Las primeras críticas a la teoría euclidiana de los paralelos se han conservado en la Comentario sobre el primer libro de Euclides y rsquos Elementos por el filósofo neoplatónico Proclus Lycius (410-85). Lycius comenta que Posidonio de Rodas (135-51 a. C.) había definido líneas paralelas como & ldquolines en un solo plano que ni convergen ni divergen pero tienen todas las perpendiculares iguales que se dibujan a uno de ellos desde puntos en el otro & rdquo (Proclus, p. 138), es decir, como líneas rectas equidistantes. Proclo también menciona un intento de Ptolomeo (fl. Ca. 125-61) de probar la Proposición I.29 de la Elementos, la primera proposición en la que Euclides había hecho uso del Postulado Paralelo, pero sin recurrir a él. El propio Proclo intenta probar este postulado. Dice que cualquiera que quiera probarlo debe aceptar de antemano un axioma como Aristóteles [De Caelo 1.5.271b 28 ss.] Utilizado para establecer la finitud del cosmos: Si desde un solo punto dos líneas rectas que forman un ángulo se producen indefinidamente, el intervalo entre ellas cuando se produce indefinidamente excederá cualquier magnitud finita y rdquo (Proclus, p. 291) . Por medio de este axioma, Proclo puede entonces probar el Postulado del Paralelo, pero asumiendo que la distancia entre dos rectas paralelas es de magnitud finita.

En un pasaje conservado en el comentario de Abu & rsquol-ʿAbbās Fażl b. Ḥātem Nayrizi (fl. Ca. 287-900) en el Elementos, el filósofo y comentarista griego Simplicius (primera mitad del siglo VI) cita una prueba del Postulado Paralelo hecha por su colega Aḡānis, posiblemente el filósofo ateniense Agapius, que floreció alrededor del 511 (Lo Bello, págs. 224-29).Aḡānis primero define las líneas paralelas como & ldquothose en un plano [tal que] si se extienden con una extensión infinita, sin límite, en ambas direcciones, juntas, la distancia que hay entre ellas es siempre una distancia & rdquo (Lo Bello, p. 158) . Esta definición de líneas paralelas como líneas rectas equidistantes le permitirá probar la Proposición I.29 de la Elementos, así como el Postulado Paralelo.

El primer matemático árabe que se ocupó de la teoría euclidiana de los paralelos es ʿAbbās b. Saʿid Jawhari (fl. Ca.215/830), en un tratado, ahora perdido, dedicado a Euclides y rsquos Elementos. Pero su intento de probar el Postulado Paralelo ha sido preservado por Naṣir-al-Din preservedusi (597-672 / 1201-74) en su tratado al-Resāla al- & scaronāfia ʿan al- & scaronakk fi al-ḵoṭuṭ al-motawāzia) que alivia la duda sobre las líneas paralelas. Jawhari demuestra notablemente que las líneas paralelas son equidistantes, pero asume implícitamente que si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos alternos sean iguales entre sí, entonces cualquier otra línea recta que caiga sobre las dos líneas rectas también hará que los ángulos alternos sean iguales. a otro. Luego prueba el Postulado del Paralelo (Jaouiche, págs. 24, 37-44, 137-44 Houzel, pág. 170).

Después de él, Abu & rsquol-Ḥasan Ṯābet b. Qorra (211-88 / 826-901) hizo dos intentos para probar el Postulado Paralelo. En su tratado sobre la prueba de Euclides y rsquos celebró el Postulado (Maqāla fi borhān al-mosādara al-ma & scaronhura men Oqlides), admite como principio que si dos rectas cortadas por otra recta divergen en una dirección, convergerán en la otra dirección. Esto le permitirá demostrar que en caso de que los ángulos alternos sean iguales, las dos líneas rectas serán equidistantes. Luego prueba el Postulado Paralelo por medio del llamado & ldquoAxioma de Arquímedes & rdquo En el tratado sobre & ldquoEl hecho de que dos líneas producidas según menos de dos ángulos rectos se encontrarán (Fi anna al-ḵaṭṭayn eḏā oḵrejā elā aqall men zāwiatayn qāʾematayn eltaqayā), Ṯābet b. Qorra introduce el concepto de movimiento. En particular, admite como principio que cualquier punto de un sólido que se mueva de acuerdo con una traslación uniforme y rectilínea describirá una línea recta. Esto le permite producir dos líneas rectas equidistantes (Jaouiche, pp. 22-23, 45-56, 145-60 Houzel, p. 171).

Abu ʿAli Ḥasan b. Ḥasan b. Hayṯam (muerto después del 432 / septiembre de 1040) define líneas rectas paralelas a través del concepto de equidistancia. Para lograr esto, intenta demostrar que si una línea recta finita se mueve perpendicularmente a una línea recta fija, entonces su extremo describirá una línea recta paralela a la línea fija, lo que le permitirá probar el Postulado del Paralelo (Jaouiche, págs. 57-74, 161-84 Houzel, págs. 171-72).

Khayyam considera que los intentos de sus predecesores por probar el Postulado Paralelo no fueron satisfactorios, ya que cada uno de ellos había postulado algo que no era más fácil de admitir que el Postulado mismo. Desarrolla en particular el intento de Ebn al-Hayṯam & rsquos, rechazando categóricamente la introducción del concepto de movimiento en la geometría. La intención de Khayyam & rsquos es probar ocho proposiciones, en particular la Proposición I.29 de la Elementosy el postulado paralelo (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 185, 219-20, 225-27, 230-33). Lo que hace que su intento sea particularmente interesante es su posición filosófica al respecto. Khayyam piensa que el error que cometieron sus predecesores, al intentar probar el Postulado Paralelo, es que ignoraron algunos de los principios tomados del filósofo (es decir, Aristóteles). Considera que el Postulado Paralelo debe probarse tomando como punto de partida ciertas premisas filosóficas, las cuales, a su juicio, son consecuencias inmediatas de las propias nociones de línea recta y de ángulo rectilíneo, pues una vez que estas premisas se toman como necesariamente verdaderas, entonces la El geómetra puede admitirlos sin pruebas. Estas premisas son: (1) Dos rectas que se cruzan divergirán alejándose del punto de intersección (Proclo ya había recurrido a esta premisa, atribuyéndola explícitamente a Aristóteles). (2) Se cruzarán dos líneas rectas convergentes. (3) Dos líneas rectas convergentes no pueden divergir mientras van hacia la convergencia y viceversa. Khayyam también asume (mientras prueba la tercera proposición) que las líneas paralelas son equidistantes, pero como no da ninguna explicación, es difícil saber si toma esto como una consecuencia obvia de la segunda premisa, o si considera, como algunos de sus predecesores, que "quoparallel" y "ldquoequidistant" son sinónimos (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 185, 224).

Cabe señalar a este respecto que, desde el punto de vista de Khayyam & rsquos, el hecho de que la segunda y la tercera premisas sean matemáticamente equivalentes al postulado que pretende demostrar no es un problema en absoluto. Khayyam no está realmente preocupado por cuestiones de equivalencia matemática; más bien está preocupado por el hecho de que la segunda y tercera premisas son consecuencias inmediatas de los conceptos de línea recta y ángulo rectilíneo, mientras que el Postulado no lo está y es por eso que el Postulado debería, en su opinión, sea probada a través de ellos.

La esencia de la argumentación de Khayyam & rsquos se encuentra en la prueba de la tercera proposición. En él considera (Figura 1) un cuadrilátero ABCD, en el que los lados AC y BD son iguales entre sí y ambos perpendiculares a la base AB. Como consecuencia de la primera proposición que acababa de probar, los ángulos ACD y BDC serán iguales entre sí.

A continuación, examina sucesivamente los tres casos posibles, a saber, que los ángulos ACD, BDC son ambos rectos, ambos agudos o ambos obtusos. Primero demuestra que, si se supone que estos ángulos son agudos, se obtendrán dos líneas rectas que cortan otra línea recta en ángulos rectos y divergen a ambos lados de esta línea recta y esto contradice la tercera premisa. Asimismo, se llegará a una contradicción asumiendo que estos ángulos son obtusos. Por lo tanto, los ángulos ACD, BDC serán necesariamente ángulos rectos. Ahora puede probar fácilmente la Proposición I.29 de la Elementos, así como el Postulado paralelo (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 185-86, 226-30). Khayyam termina esta parte de su tratado explicando que las ocho proposiciones que acaba de probar deben reemplazar la Proposición I.29 de la Elementos, omitiendo, sin embargo, todas las consideraciones filosóficas que ha elaborado, ya que estas pertenecen propiamente a la ciencia de la metafísica, no a la geometría (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 186, 233).

Aproximadamente dos siglos después, Naṣir-al-Din Ṭusi retomó en parte las ideas de Khayyam y rsquos en dos tratados (al-Resāla y scaronāfia Taḥrir Oqlides): uno es el tratado que alivia la duda sobre las líneas paralelas, que está dedicado a la prueba del Postulado Paralelo y contiene extensos pasajes de la prueba de Khayyam & rsquos, el otro es la Redacción de Euclides, un tratado dedicado a Euclides & rsquos Elementos en su totalidad.

Aún se pueden encontrar rastros de Khayyam & rsquos prueba del Postulado Paralelo hasta el siglo XVIII. En las primeras proposiciones de su Euclides vindicatus (Euclides libre de toda imperfección), el matemático jesuita Girolamo Saccheri (1667-733) considera el mismo cuadrilátero ABCD, ahora conocido como el 'quadrilátero de Saccheri', así como los tres casos posibles con respecto a sus ángulos iguales ACD, BDC, que Saccheri llama, respectivamente, la hipótesis del ángulo recto, la hipótesis del ángulo agudo y la hipótesis del ángulo obtuso.

Conceptos de razón y proporcionalidad. Euclides había expuesto en el Libro V de la Elementos la teoría de la proporción aplicable a todo tipo de magnitud (líneas, superficies, sólidos, tiempo). Toda la teoría se basó en las definiciones que se encuentran al comienzo del Libro, de las cuales las dos siguientes iban a desempeñar un papel destacado: & ldquo3. Una razón es una especie de relación de tamaño entre dos magnitudes del mismo tipo. 5. Se dice que las magnitudes están en la misma proporción, la primera a la segunda y la tercera a la cuarta, cuando, si se toma algún equimúltiplo del primero y tercero, y cualquier equivalente del segundo y cuarto, el primero los equimúltiplos por igual exceden, son iguales o no alcanzan a los últimos equimúltiplos tomados respectivamente en el orden correspondiente & rdquo (Heath, II, p. 114).

Lo que debe notarse con respecto a la Definición V.3 es que el significado de las palabras & ldquoa tipo de relación con respecto al tamaño & rdquo no se explica en ninguna parte del Elementos. Esto planteó un problema en cuanto a cómo deberían interpretarse, en particular la palabra griega pēlikotēs, que se traduce de diversas formas como & ldquosize, & rdquo & ldquovalue, & rdquo o & ldquoquantity. & rdquo

La definición V.5 fue la piedra angular de la teoría, ya que podía aplicarse a todas las magnitudes, ya sean conmensurables o inconmensurables, en contraposición a la definición alternativa de proporcionalidad que se encuentra en el Libro VII de la Elementos, que, estrictamente hablando, se aplica sólo a los números, pero podría fácilmente extenderse a magnitudes conmensurables, a saber, la Definición VII.20: & ldquoLos ​​números son proporcionales cuando el primero es el mismo múltiplo, o la misma parte, o las mismas partes, del segundo que el tercero es del cuarto & rdquo (Heath, II, p. 278).

La definición V. 5 planteaba algunos problemas. En primer lugar, la comparación de múltiplos de magnitudes no parecía tener ninguna relación definida y obvia con el concepto de proporcionalidad. En segundo lugar, Euclides no dio ninguna indicación sobre cómo se había concebido o establecido esta definición, por lo que no se pudo encontrar nada relevante dentro del Elementos ellos mismos para permitir a los matemáticos desentrañar su intención. Finalmente, aunque se pretendía definir el concepto de "relación quosame", la exposición de "Euclides" no permitió establecer una relación entre la Definición V.3 y la Definición V.5 (Vahabzadeh, 2002, pp. 10-11).

No nos ha llegado ningún comentario griego sobre la Definición V.5 (Euclide d & rsquoAlexandrie, II, 1994, págs. 539-43); sin embargo, la situación es bastante diferente con respecto a las matemáticas árabes. De hecho, esta Definición ha dado lugar a numerosos comentarios en árabe, cuyo objetivo era o bien justificarla mediante una prueba, o bien sustituirla por otra definición conocida como la definición & ldquoanthyphairetic de same ratio & rdquo (ver, p. Ej., Plooij, págs. 48 -56, 61-66). La última definición consistía en aplicar a dos magnitudes homogéneas un proceso conocido habitualmente como algoritmo euclidiano, pero que los historiadores también denominan antifáiresis por una palabra griega que significa "sustracción alternante", "sustracción co-recíproca". Más precisamente, dadas dos magnitudes homogéneas, la magnitud menor es restado del mayor un cierto número de veces, hasta que se llega a un resto menor que la magnitud menor. Luego, este resto se resta de la magnitud menor un cierto número de veces, hasta que se llega a un segundo resto menor que el primer resto. Entonces se procede de la misma manera con cada par de residuos consecutivos. La secuencia de números naturales así obtenida puede entonces considerarse como una "característica" de la relación de las dos magnitudes. Ahora bien, si la razón de otro par de magnitudes homogéneas se caracteriza por la misma secuencia de números, entonces se dice que las cuatro magnitudes están en la misma razón, es decir, serán proporcionales (ver, por ejemplo, Plooij, págs. 60). Por ejemplo, supongamos que AB y CD (Figura 2) son dos magnitudes homogéneas. Supongamos que AB mide CD una vez, dejando ED menos que AB que ED mide AB tres veces, dejando FB menos que ED y que FB mide ED dos veces, dejando GD menos que FB. Si procedemos de la misma manera con cada par de residuos sucesivos, este proceso producirá la secuencia 1, 3, 2 y hellip

También considere que KL y MN (Figura 3) son otro par de magnitudes homogéneas. Suponemos que KL mide MN una vez, dejando ON menos que KL que ON mide KL tres veces, dejando PL menos que ON y que PL mide ON dos veces, dejando QN menos que PL, y procede de la misma manera con cada par de restos sucesivos. . Ahora bien, si el proceso aplicado a KL y MN produce la misma secuencia 1, 3, 2 & hellip, entonces se dice que la relación de AB a CD es la misma que la relación de KL a MN.

Como señalan algunos historiadores (Plooij, p. 63 Gardies, pp. 80-81, 90-91 Vahabzadeh, 1997, pp. 253-57), una de las características de la definición antifirética de la misma proporción es que, a diferencia de la definición de Euclides y rsquos V.5, permite que cada una de las razones que componen una proporción se consideren independientemente unas de otras, lo cual es necesario para dar sentido al concepto de razón en sí mismo, en particular para considerar una razón entre dos cualesquiera. magnitudes como un número (ver más abajo, Composición de razones y números irracionales).

Euclides ya había utilizado el proceso antifirético para encontrar la mayor medida común de dos números y de dos magnitudes conmensurables (Elementos, Propsiciones VII.2 y X.3). También lo usó como criterio para probar que dos números son primos entre sí y que dos magnitudes son inconmensurables (Propsiciones VII.1 y X.2). Sin embargo, no usó este proceso para definir magnitudes proporcionales. En Temas VIII.3. 158b 29-35, Aristóteles afirma: & ldquoParecería que en matemáticas también algunas cosas no se prueban fácilmente por falta de una definición, como la proposición de que la línea recta paralela al lado que corta el plano [es decir, el paralelogramo] divide de la misma manera tanto la línea como el área. Pero cuando se establece la definición, lo que se dijo se vuelve inmediatamente claro. Para las áreas y las líneas tienen el mismo resta alterna (antanairesis) y esta es la definición de la misma proporción y rdquo (Thomas, I, p. 507). En su comentario sobre este pasaje, Alejandro de Afrodisias (ca. 210) agrega: & ldquoPorque la definición de proporciones que usaban los de antaño es esta: Magnitudes que tienen la misma resta alternante (antifiriosis) son proporcionales. Pero él [es decir, Aristóteles] ha llamado antifáiresis antanairesis& rdquo (Thomas, I, p. 507). Muchos historiadores consideran esto como una evidencia de la existencia en las matemáticas preeuclidianas de una definición de magnitudes proporcionales basada en la antifiriosis, y algunos han intentado reconstruir tal teoría de la proporción preeuclidiana; sin embargo, no se ha encontrado ningún rastro de esta definición antifirética en cualquier texto matemático griego existente (por ejemplo, ver Fowler, 1999a Euclide d & rsquoAlexandrie, II, pp. 515-23 y especialmente Vitrac, 2002, pp. 158-74).

El primer texto matemático en el que se menciona explícitamente la definición antifirética de la misma razón es el Tratado sobre la dificultad con respecto a la razón (Resāla fi & rsquol-mo & scaronkel men amr al-nesba) por Abu ʿAbd-Allāh Moḥammad b. ʿĪsā b. Aḥmad Māhāni (fl. 247/860). En él, Māhāni considera la relación de dos magnitudes homogéneas como el estado que ocurre a cada magnitud cuando se mide por la otra. Siguiendo una directiva de Ṯābet b. Qorra, él caracteriza esta medida por medio del proceso antifirético, entonces dos razones serán iguales si este proceso arroja la misma secuencia de números cuando se aplica a cada par de magnitudes (ver arriba). Māhāni también establece una definición de mayor proporción basada en la antifiriosis. Luego demuestra que sus definiciones de misma proporción y de proporción mayor son equivalentes a la Definición V.5 y la Definición V.7 (definición de Euclides y rsquos de proporción mayor) respectivamente (Vahabzadeh, 2002, pp. 12-14, 31-40).

En su comentario sobre Euclides y rsquos Elementos, Abu & rsquol-ʿAbbās Nayrizi (fl. Ca. 287/900) también ha interpretado la Definición V.3 en términos de antifairesis pero, a diferencia de su predecesor Māhāni, considera que no es necesario probar la Definición V.5 ya que, en su opinión , esta definición pertenece a los principios del Libro V. Tampoco estudia la conexión entre la definición antifirética de la misma razón y la Definición V.5 (Plooij, pp. 51-53, 61).

En la segunda parte de su comentario, Khayyam se propone abordar a fondo los conceptos de razón y proporcionalidad entre magnitudes, ya que en su opinión este asunto nunca se había abordado de manera satisfactoria y filosófica. Al comentar sobre la Definición V.3 de Euclides & rsquos, Khayyam dice que dos cosas entran en el concepto de razón: la relación entre las dos magnitudes en cuanto a igualdad y desigualdad, y el tamaño, o la magnitud, de esta razón. Explica que este concepto se encontró primero en los números naturales, es decir, cuando se consideran los números relacionados entre sí, se encuentra que son iguales o desiguales y si son desiguales, entonces el número más pequeño será una parte o partes. del más grande. Por ejemplo, dado que 3 mide 9 tres veces, 3 es un tercio de 9, y el tamaño de la proporción de 3 a 9 será un tercio, de la misma manera 2 es dos séptimos de 7, y el tamaño de la proporción de 2 a 7 serán dos séptimos. Cuando se considera este concepto con respecto a las magnitudes, se encuentra, además de las tres posibilidades anteriores, una cuarta, a saber, que las dos magnitudes pueden ser inconmensurables, de modo que la menor no será parte de la mayor ni partes (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs.188, 234-35).

Luego recuerda la Definición V.5 de Euclides y rsquos, y agrega: & ldquoPero esto no se manifiesta (yonabbeʾ ʿan) verdadera proporcionalidad. ¿No ves que si un interrogador pregunta, diciendo: Cuatro magnitudes son proporcionales según la proporcionalidad euclidiana, y la primera es la mitad de la segunda, la tercera será la mitad de la cuarta, o no? & Rdquo (Rashed y Vahabzadeh , 2000, pág.236, con corrección). En otras palabras, aunque es bastante fácil probar a partir de la Definición V.5 que la tercera magnitud también será la mitad de la cuarta (porque según la Definición V.5 dos veces la tercera magnitud es igual a la cuarta, de modo que el tercero es, obviamente, la mitad del cuarto), sin embargo, esta definición no es satisfactoria en el sentido de que no manifiesta una propiedad inmediata de magnitudes proporcionales, como debería hacerlo cualquier definición verdadera.Él llama al concepto euclidiano de magnitudes proporcionales "proporcionalidad común" y pretende hablar de "proporcionalidad verdadera" (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 188, 236).

El concepto de relación y proporcionalidad de Khayyam & rsquos es esencialmente el mismo que el de sus predecesores Māhāni y Nayrizi. Es decir, dadas dos magnitudes, serán iguales, o la menor será una parte o partes de la mayor y si las dos magnitudes son inconmensurables, la relación se caracterizará entonces por medio de antifáiresis de donde se sigue que dos razones serán necesariamente será el mismo si el proceso antifirético aplicado a cada par de magnitudes produce la misma secuencia de números. Khayyam también define el concepto de mayor proporción a través de la antifiriosis. Luego prueba que las definiciones antifiréticas de la misma proporción y de mayor proporción son equivalentes a las definiciones correspondientes de Euclides. En consecuencia, todas las propiedades de magnitudes proporcionales que ya habían sido establecidas dentro del marco de la teoría euclidiana seguirán siendo válidas dentro del marco de una teoría basada en las definiciones antifiréticas, por lo tanto, estas propiedades no necesitan ser probadas nuevamente (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 188-89, 236-49).

Combinación de razones y números irracionales. Encontramos en el comienzo del Libro VI de la Elementos una definición (ahora considerada como una interpolación) según la cual una razón se compone de razones cuando, al multiplicarse los tamaños de estas razones, producen una cierta razón. Pero Euclides no explica en ninguna parte lo que quiere decir con "tamaño de una proporción", por no mencionar la "multiplicación" de estos tamaños. Sin embargo, sí hace uso de la combinación de razones en las Proposiciones VI.23 y VIII.5 de la Elementos. En cada caso admite sin prueba que, dadas tres magnitudes o tres números naturales A, B, C, la razón de A a C se combinará con la razón de A con B y con la razón de B con C. Es esto última afirmación, la que usan los matemáticos al componer razones, que a menudo se ha considerado como una proposición que debería ser probada. Esto es, de hecho, a lo que se aplica Eutocio de Ascalón (n. Ca. 480) cuando comenta la Proposición II.4 de Sobre la esfera y el cilindro, en el que Arquímedes (ca. 287-212 a. C.) había utilizado la declaración anterior sobre la combinación de proporciones. Pero aunque Eutocius tiene la intención de proporcionar una prueba general de que esta afirmación es válida tanto para números naturales como para magnitudes, solo considera las relaciones entre números, de modo que su demostración no se aplica a las relaciones entre magnitudes inconmensurables (Heath, págs. 189-90, 247). -48, 354 Youschkevitch, págs. 86-87 Netz, 2004a, págs. 312-15).

Bernard Vitrac ha demostrado que Eutocio intentó más tarde superar la limitación anterior al comentar la Proposición I.11 de la Cónicas de Apolonio de Perge (n. ca. 262 a. C.). Dice Eutocius: & ldquoSe dice que una proporción se compone de proporciones cuando los tamaños de las proporciones multiplicados por sí mismos producen algo; se entiende que & lsquosize & rsquo se dice obviamente del número al que la proporción es parónima. Por un lado, es con los múltiplos que el tamaño puede ser un número natural [p. Ej., El tamaño de la relación triple es tres] con las otras relaciones, el tamaño será necesariamente un número y una parte o partes [p. Ej., el tamaño de la razón sesquialterial es de uno y medio], a menos que, sin embargo, alguien sostenga que también existen relaciones inexpresables, como las que existen entre magnitudes irracionales. Y por otro lado, es obvio que, en todas las relaciones, este mismo tamaño multiplicado por el término consecuente de la razón producirá el antecedente & rdquo (Vitrac, 2000, Anexos, pp. 99-100). Eutocio luego produce una prueba esencialmente la misma que la de su comentario sobre la Proposición II.4 de Sobre la esfera y el cilindro, pero esta vez no especifica si los ratios son numéricos o no. Y finalmente añade: “Pero los lectores no deben preocuparse por el hecho de que esto haya sido demostrado por medios aritméticos, incluso si los Antiguos efectivamente hicieron uso de estas demostraciones en proporciones que son más matemáticas que aritméticas, y esto porque el objeto de la investigación Es aritmética para proporciones y tamaños de proporciones y multiplicaciones de números pertenecen en primer lugar a números y, de ahí, a magnitudes, de acuerdo con el dicho: "Para estas ciencias matemáticas parecen hermanas y rsquo y rdquo" (Vitrac, 2000, p. 100 cf. Knorr, 1989, págs. 157 - 59).

Los comentarios de Eutocius sobre la combinación de razones proporcionan la base para ilustrar el problema fundamental que surge en este contexto. Es decir, que en la aritmética griega un número se considera como una multitud de unidades indivisibles (lo que ahora llamamos un número natural) en consecuencia, el tamaño (pēlikotēs) de la razón de dos números o dos magnitudes conmensurables no puede, estrictamente hablando, ser considerado como un número, a menos que el antecedente de la razón sea un múltiplo del consecuente. Por tanto, si se quiere considerar como un número la razón de dos números cualesquiera o magnitudes conmensurables, será necesario considerar una unidad divisible, como en la logística griega, que se ocupa de unidades concretas en lugar de teóricas. En el primer caso se terminará con lo que se llama un número entero o natural, y en el segundo caso con un número fraccionario. Y en caso de que uno quiera considerar el tamaño de la relación entre dos magnitudes inconmensurables, terminará con lo que se llama un número irracional.

Ahora, Khayyam se propone probar la afirmación anterior sobre la combinación de razones en el caso general, es decir, para tres magnitudes cualesquiera, y es precisamente en este contexto que se involucra en un estudio detallado de la naturaleza cuantitativa de la razón y presenta la concepto de número irracional.

Para Khayyam, cada razón expresa una medida, es decir, una cierta magnitud se asume como unidad y las otras magnitudes del mismo tipo están relacionadas con ella. Por ejemplo, el significado de & ldquthe ratio de tres a cinco & rdquo es & ldquothree-quintos de una unidad. & Rdquo En caso de que se dé una razón entre dos magnitudes A y B, entonces considera la magnitud G tal que su razón a la unidad es la Igual que la razón de A a B. Es esta magnitud G la que luego expresará la medida (es decir, el tamaño) de la razón de A a B. Khayyam explica: & ldquoAs a estudiar si la razón entre magnitudes incluye el número en su esencia , o si es inseparable del número, o si se une al número desde fuera de su esencia por algo más, o si se une al número por algo inseparable de su esencia sin requerir un juicio extrínseco: este es un estudio filosófico a lo que el geómetra no debe de ninguna manera dedicarse, y rdquo para este estudio no le incumbe al geómetra una vez que ha y ldquorealized que una relación entre magnitudes se conjuga con algo numérico o en la potencialidad of number & rdquo (Youschkevitch, págs. 87-88 Rashed y Vahabzadeh, 2000, pág. 251).

Al probar la proposición en cuestión, Khayyam repasa estas nociones: "La magnitud G no debe considerarse como una línea, una superficie, un sólido o un tiempo". Por el contrario, debe considerarse como algo abstraído en el intelecto de estos caracteres adjuntos y unido a un número: no como un verdadero número absoluto, porque puede ser que la relación entre A y B no sea numérica, de modo que no se pueden encontrar dos números de acuerdo con su razón y rdquo (Rashed y Vahabzadeh, 2000, p. 253). De esta manera, puede reducir la combinación de razones a la multiplicación de los números que expresan sus respectivos tamaños. También explica que la unidad que considera es una unidad divisible (de hecho, la unidad considerada por él, al ser una magnitud, es divisible ad infinitum) y es solo asumiendo que un número como 2 está compuesto de unidades divisibles que uno poder hablar de "número irracional" radic2, "a diferencia de los antiguos griegos, para quienes un concepto como" número irracional "radic2" no parecía tener ningún significado, sólo hablarían en este caso de la relación de dos líneas inconmensurables, es decir, la razón de la diagonal de un cuadrado a su lado.

Así es como Omar Khayyam, al discutir la conexión entre el concepto de razón y el concepto de número, y al plantear explícitamente los problemas teóricos relacionados con el mismo, hizo una contribución decisiva tanto al estudio teórico del concepto de número irracional, como a la comprensión de su condición de entidad matemática por derecho propio. Porque aunque el punto de vista de Khayyam & rsquos (no le corresponde al geómetra justificar la conexión de la razón y el número una vez que se ha dado cuenta de que tal conexión existe) puede parecer matemáticamente defectuoso, corresponde de hecho a la actitud finalmente adoptada por los matemáticos para muchos. siglos. Tal actitud se puede encontrar, por ejemplo, en el comienzo de Isaac Newton & rsquos Aritmética universal, donde afirma sin ningún tipo de justificación: & ldquoPor Numero nosotros comprender, no tanto una multitud de unidades, como la Razón abstraída de cualquier Cantidad, a otra Cantidad del mismo Tipo, que tomamos por Unidad. Y esto es triple entero, fracturado, y sordo: Un Entero, es lo que mide Unity a Fracción, lo que mide una Parte submúltiplo de Unidad y un Sordo, a lo que la Unidad es inconmensurable& rdquo (Newton, pág. 2 Youschkevitch, págs. 88-89).

(2) EL ENSAYO SOBRE LA DIVISIÓN DEL CUADRANTE DEL CÍRCULO

Este Ensayo no tiene título y no está fechado, solo sabemos que fue escrito antes del tratado de álgebra, ya que en el primero, que trata solo de una ecuación cúbica específica, Khayyam alude al tema del segundo, a saber, un tratamiento completo de todas las ecuaciones cúbicas (para este ensayo, véase Amir-Moez, 1961 Djebbar y Rushdi).

El objetivo de este ensayo es determinar (Figura 4) en el cuadrante AB de un círculo dado ABCD un punto G, de modo que el radio AE sea a la perpendicular GH como EH a HB. Para lograrlo, Khayyam utiliza el método tradicional de análisis y síntesis: primero asume que el problema ha sido resuelto, y luego deduce ciertas propiedades que le permitirán construir el punto G que se busca.

El primer análisis conduce a la determinación de una hipérbola rectangular que pasa por el centro E del círculo y se deja sin alcanzar por su dificultad. En el segundo análisis, Khayyam asume que el punto G es conocido y dibuja la tangente GI al círculo. Por lo tanto, se lo lleva a la determinación del triángulo EGI que tiene un ángulo recto en G.

Después de haber examinado ciertas propiedades de este triángulo, asume que HG es un & ldquothing & rdquo, es decir, la incógnita de una ecuación, también llamada & ldquoroot & rdquo o & ldquoside, & rdquo y que EH es igual a 10. Por lo tanto, es llevado a la resolución de la ecuación & ldquoa cubo y doscientas cosas son iguales a veinte cuadrados y dos mil. & rdquo Luego construye la solución de esta ecuación por medio de un círculo y una hipérbola rectangular. Entonces es capaz de construir el triángulo EGI y, en consecuencia, el punto G, que se busca (Rashed y Vahabzadeh, 2000, pp. 97-107, 165-70, 174-79).

En el único manuscrito conocido de este tratado (en la colección de 1751 de la Biblioteca de la Universidad de Teherán), al texto de Khayyam & rsquos le sigue un breve problema que no se atribuye ni a Khayyam ni a nadie más. En él, el punto G se determina a la vez como la intersección del círculo dado y una hipérbola rectangular que pasa por el punto B, en lugar del punto E como en el primer análisis de Khayyam & rsquos, y tiene como asíntotas CA producida y la perpendicular a CA dibujada desde el punto C .

El ensayo Khayyam & rsquos también contiene una digresión importante sobre los conceptos básicos del álgebra y una clasificación de ecuaciones cúbicas. Khayyam primero explica que lo que los algebristas llaman & ldquosquared-square, & rdquo & ldquosquared-cube, & rdquo & ldquocubed-cube, & rdquo & hellip (es decir, en notación moderna, x 4, x 5, x 6 & hellip) no puede tener ningún significado en cosas sensibles, entonces que estas expresiones solo deben entenderse metafóricamente. Luego agrega: "Y en cuanto a las cosas que usan los algebristas, y que existen en cosas sensibles y en magnitudes continuas, son cuatro: número, cosa, cuadrado y cubo" (Rashed y Vahabzadeh, 2000, p. 171). Explica que el número es algo abstraído en el intelecto de las cosas materiales: es un inteligible universal que no puede existir concretamente a menos que esté asociado con objetos particulares. En cuanto a la cosa, su posición en relación a las magnitudes es la de la recta. El cuadrado, por supuesto, será un cuadrado cuyo lado sea igual a la cosa y de la misma manera el cubo será un cubo cuyo lado sea igual a la cosa (Rashed y Vahabzadeh, 2000, pp. 170-71).

Khayyam luego da una clasificación de ecuaciones cúbicas en la que sigue la metodología inaugurada por Moḥammad b. Musā Ḵˇārazmi. Como es bien sabido, Ḵˇārazmi había escrito su tratado de álgebra (al-Jabr wa y rsquol-moqābala) durante el califato de al-Maʾmun (r. 198-218 / 813-33). En él, Ḵˇārazmi había introducido por primera vez las nociones básicas utilizadas a lo largo de su tratado, que definió como los tres tipos de números necesarios en los cálculos algebraicos. 2, bx yc respectivamente, donde a, b, c son números naturales o fracciones positivas). Luego consideró todas las combinaciones entre estos tres tipos, obteniendo así tres ecuaciones entre dos términos (es decir, ax 2 = bx, ax 2 = c, bx = c) y tres ecuaciones que involucran tres términos (es decir, ax 2 + bx = c, ax 2 + c = bx, bx + c = ax 2). Ḵˇārazmi explicó cómo resolver cada una de estas seis ecuaciones una vez que el número del término del grado más alto se había reducido a uno. Resolvió las ecuaciones entre dos términos mediante ejemplos específicos, pero dio la solución de aquellas entre tres términos en forma de regla general aplicable a cualquier ecuación de la misma especie, y justificó cada regla mediante una construcción geométrica. Luego aplicó estas reglas a la resolución de varios tipos de problemas, tanto teóricos como prácticos (Ḵˇārazmi, tr. Rozen, pp. 5-21, y passim).

Khayyam primero recuerda que las combinaciones entre números, raíces y cuadrados producen seis ecuaciones que los algebristas ya han resuelto. Luego considera todas las combinaciones entre números, raíces, cuadrados y cubos que producen ecuaciones de tercer grado. Estas ecuaciones son simples o compuestas. Las ecuaciones simples son aquellas entre dos términos. Las ecuaciones compuestas son aquellas que involucran más de dos términos: son trinomiales o cuadrinomiales. Khayyam se lleva así a tres ecuaciones simples (es decir, x 3 = ax 2, x 3 = bx, x 3 = c), nueve ecuaciones trinomiales (es decir, x 3 + ax 2 = c, x 3 + ax 2 = bx, x 3 + c = bx, x 3 + c = ax 2, x 3 + bx = c, x 3 + bx = ax 2, ax 2 + bx = x 3, ax 2 + c = x 3, bx + c = x 3) y siete ecuaciones cuadrinomiales (es decir, x 3 = ax 2 + bx + c, x 3 + bx + c = ax 2, x 3 + ax 2 + c = bx, x 3 + ax 2 + bx = c , x 3 + ax 2 = bx + c, x 3 + bx = ax 2 + c, x 3 + c = ax 2 + bx). Descartando las que se pueden reducir a una ecuación de menor grado, termina con catorce ecuaciones cúbicas, todas las cuales solo pueden resolverse mediante secciones cónicas (Rashed y Vahabzadeh, 2000, pp. 172-73).

Luego nos informa que nada le había llegado de los antiguos en relación con estas catorce ecuaciones cúbicas, y que Māhāni fue el primero que se ocupó de una de ellas. Māhāni estaba tratando de resolver el siguiente lema que Arquímedes había usado en la Proposición II.4 de su tratado. Sobre la esfera y el cilindro: dado (Figura 5) dos líneas DB y BZ, donde DB es dos veces BZ, y dado un punto T en BZ, para cortar DB en un punto X de modo que XZ sea TZ como el cuadrado de DB al cuadrado de DX ( Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs.173).

Aunque Arquímedes había prometido mostrar más adelante cómo determinar el punto X, la solución de este problema nunca se encontró en ninguno de sus escritos. Eutocio, en su comentario a esta proposición, reproduce íntegramente un texto que encontró "en cierto libro antiguo" y que podría corresponder a la solución de Arquímedes: en ella, el problema se resuelve geométricamente mediante una parábola y una hipérbola rectangular (Netz, 2004a, págs. 318-30 ídem, 2004b, págs. 16-29).

Māhāni pensó en analizar este lema por medio del álgebra, y así fue llevado a la ecuación & ldquoa cubo y un número es igual a cuadrados. & Rdquo Trató de resolverlo mediante secciones cónicas, pero no pudo encontrar su solución así & ldquohe resolvió el asunto diciendo que era imposible y rdquo (Rashed y Vahabzadeh, 2000, p. 173). Hasta que Abu Jaʿfar Moḥammad Ḵāzen (m. Entre 350-60 / 961-71) finalmente lo resolvió mediante secciones cónicas. Luego fue resuelto por Abu Naṣr b. ʿErāq (siglos X-XI), también mediante cónicas, la ecuación & ldquoa cubo y cuadrados son iguales a un número, & rdquo a lo que fue llevado al analizar algebraicamente un lema que Arquímedes había admitido para determinar el lado del heptágono regular inscrito en un círculo. Abu & rsquol-Jud Moḥammad b. al-Layṯ (siglos X-XI) resolvió un caso particular de la ecuación & ldquosquares son iguales a un cubo y raíces y un número, & rdquo a lo que los matemáticos fueron llevados al analizar el siguiente problema: dividir diez en dos partes, de modo que la suma de sus cuadrados, sumada al cociente de la división del mayor por el menor, es setenta y dos (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 173).

Así, según el testimonio de Khayyam & rsquos, hay tres cúbicos, a los que también agrega la ecuación & ldquoa cube es igual a un número, & rdquo que ya han sido resueltos & ldquo por nuestros eminentes predecesores & rdquo (Rashed y Vahabzadeh, 2000, p. 174). Termina su digresión, agregando que nadie había discutido los diez restantes, ni dado una clasificación de todos los cúbicos, y que tiene la intención de componer un tratado que incluirá un tratamiento exhaustivo de estos (Rashed y Vahabzadeh, 2000, pp. 174) .

En general, se puede decir que el interés principal de este Ensayo de Khayyam no radica en la resolución de Khayyam & rsquos del problema específico de la división del cuadrante de un círculo, ya que este problema se puede resolver de una vez eligiendo la hipérbola adecuada. , pero en el sentido de que nos proporciona una idea de la metodología de Khayyam & rsquos y de datos importantes relacionados con la historia de las ecuaciones cúbicas.

(3) EL TRATADO DE ÁLGEBRA

Este es el Maqāla fi y rsquol-jabr wa y rsquol-moqābala (Un tratado sobre álgebra lit. Un tratado sobre restauración y comparación) un manuscrito tiene en cambio el título Resāla fi & rsquol-barāhin ʿalā masāʾel al-jabr wa & rsquol-moqābala (Un tratado sobre las demostraciones de los problemas del álgebra Rashed y Vahabzadeh, 1999, p. 117 Woepcke, Ar. Text, p. 1). En este tratado sin fecha, Khayyam da cuenta del proyecto ya mencionado en su Ensayo, es decir, una investigación exhaustiva de las ecuaciones cúbicas. Aparte de una sección introductoria, en la que Khayyam retoma y amplía las discusiones ya encontradas en su Ensayo, este tratado se puede dividir en tres partes: las ecuaciones que se pueden resolver mediante regla y compás, es decir, mediante Euclides y rsquos. Elementos y Datos las ecuaciones que solo se pueden resolver mediante secciones cónicas, es decir, mediante Apolonio & rsquos Cónicas y las ecuaciones que involucran la inversa de lo desconocido.

En la introducción a su tratado, Khayyam define el álgebra como "arte científico" cuyo tema son los números absolutos y las magnitudes mensurables como desconocidas pero conectadas con algo conocido que permite determinarlas "(Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 112-13). De acuerdo con la filosofía aristotélica, lo que Khayyam aquí quiere decir con "números absolutos" son números naturales, es decir, una cantidad discreta, las magnitudes son una cantidad continua, de las cuales hay cuatro: la línea, la superficie, el sólido y el tiempo, tal como es. mencionado de manera general en el Categorías [6, 4b20-25] y en detalle en Primera Filosofía [Metafísica, & Delta, 13, 1020a7-33] & rdquo (Rashed y Vahabzadeh, p. 113). Khayyam no solo entiende los conceptos matemáticos de acuerdo con la filosofía aristotélica, sino que también insiste en el hecho de que las pruebas de su tratado se basan esencialmente en las obras de los geómetras griegos clásicos: `` Debe tenerse en cuenta que este tratado no será entendido excepto por alguien que los maestros Euclides y rsquos trabajan en el Elements y su trabajo en el Datos, así como dos libros de Apolonio y rsquos trabajan en Cónicas y que si alguien no está bien versado en cualquiera de estas tres [obras], de ninguna manera la entenderá y rdquo (Rashed y Vahabzadeh, 2000, p. 113, la misma afirmación se reafirma en las páginas 127, 142, 145).

Como en su Ensayo, Khayyam clasifica las ecuaciones obtenidas al combinar número, raíces, cuadrados y cubo. Pero considera aquí todas las ecuaciones de primer, segundo y tercer grado. De este modo obtiene seis ecuaciones simples ((es decir, c = x, c = x 2, c = x 3, bx = x 2, bx = x 3, ax 2 = x 3), doce ecuaciones trinomiales (es decir, x 2 + bx = c, x 2 + c = bx, bx + c = x 2, x 3 + ax 2 = bx, x 3 + bx = ax 2, x 3 = bx + ax 2, x 3 + bx = c, x 3 + c = bx, c + bx = x 3, x 3 + ax 2 = c, x 3 + c = ax 2, c + ax 2 = x 3), y siete ecuaciones cuadrinomiales (es decir, x 3 + ax 2 + bx = c, x 3 + ax 2 + c = bx, x 3 + bx + c = ax 2, x 3 = bx + ax 2 + c, x 3 + ax 2 = bx + c, x 3 + bx = ax 2 + c, x 3 + c = bx + ax 2) que es un total de veinticinco ecuaciones.

Las ecuaciones que se pueden resolver mediante regla y compás son las ecuaciones lineales y cuadráticas, así como las cúbicas que se pueden reducir a una ecuación de menor grado. La única ecuación lineal es: & ldquoa número es igual a una raíz & rdquo y su resolución es sencilla.

La resolución de ecuaciones cuadráticas se demuestra tanto numérica como geométricamente. La prueba geométrica se logra mediante la introducción de una unidad de longitud que permite a Khayyam representar los términos de cualquier ecuación cuadrática mediante figuras rectangulares, de modo que la ecuación algebraica original se traduce en una ecuación entre rectángulos y cuadrados, es decir, entre magnitudes geométricas de esa manera. Khayyam es capaz de aplicar los resultados establecidos en Euclid & rsquos Elementos y Datos (Rashed, 1997, pág. 44).

Por ejemplo, la ecuación simple & ldquoa número es igual a un cuadrado & rdquo se resuelve de la siguiente manera: la solución numérica se encuentra extrayendo la raíz cuadrada del número. Para resolver la ecuación geométricamente, Khayyam primero asume (Figura 6) que la línea recta AC es igual a la unidad, y dibuja AB igual al número dado y perpendicular a AC, la medida del rectángulo AD será entonces el número dado. Por lo tanto, se requiere construir un cuadrado E igual al rectángulo AD dado, y esta construcción se muestra en la Proposición II.14 de la Elementos. Entonces se dará el lado del cuadrado E, como se muestra en la Proposición 55 de los Datos, y será la solución geométrica de la ecuación.

Las ecuaciones trinomiales de segundo grado se resuelven numéricamente como en el tratado de Ḵˇārazmi & rsquos, es decir, mediante una regla general aplicable a todas las ecuaciones de la misma especie. Khayyam resuelve estas ecuaciones geométricamente de la misma manera que sus predecesores, es decir, analíticamente, pero también agrega una prueba sintética.

Consideremos, por ejemplo, la ecuación & ldquoa cuadrada y diez raíces son iguales a treinta y nueve. & Rdquo Para encontrar la solución numérica, establece la siguiente regla: & ldquoMultiplica la mitad del número de raíces en sí mismo, suma el producto a el número y restar de la raíz de la suma la mitad del número de raíces. El resto será entonces la raíz del cuadrado & rdquo (Rashed y Vahabzadeh, 2000, p. 120 cf. Ḵ˘ārazmi, tr., Rosen, p. 8). El hecho de que & ldquonumber & rdquo aquí signifique & ldquonatural number & rdquo está claramente implícito en el enunciado que sigue: & ldquoNuméricamente, estas dos condiciones son necesarias: la primera de ellas, que el número de raíces sea un número par, de modo que pueda tener una mitad y el segundo, que la suma del cuadrado de la mitad del número de raíces y el número sea un número cuadrado. De lo contrario, el problema sería imposible numéricamente y rdquo (Rashed y Vahabzadeh, 2000, p. 120). En otras palabras, aquí Khayyam descarta tanto los números fraccionarios como los irracionales.

En cuanto a la solución geométrica, Khayyam proporciona tres pruebas diferentes. La primera prueba se basa en la Proposición II.6 del Elementos, y es prácticamente el mismo que el producido por Ṯābet b. Qorra en su autenticación de problemas algebraicos por medio de pruebas geométricas (prueba de Ṯābet & rsquos en Rashed, 2009, pp. 160-65) la segunda prueba reproduce la de Ḵˇārazmi & rsquos. Ambas pruebas son analíticas en el sentido de que en ambas se asume que se da el lado del cuadrado que se busca, lo que implica que este cuadrado ya ha sido construido. Khayyam produce una tercera prueba sintética. Supone (Figura 7) que la línea AB es igual a 10, y que el rectángulo E es igual a 39. Luego aplica a AB un rectángulo BD igual a E y que excede a AB por un cuadrado AD, como se muestra en la Proposición VI. 29 del Elementos. Se dará el lado AC del cuadrado, como se muestra en la Proposición 59 de la Datos. Así, la línea AC será la raíz buscada.

Las ecuaciones que solo se pueden resolver mediante cónicas son las catorce cúbicas que no se pueden reducir a una ecuación de menor grado (ver arriba). Khayyam nos informa que ni él ni sus predecesores fueron capaces de resolverlos numéricamente, y agregó que "posiblemente alguien más llegará a saberlo después de nosotros" (Rashed y Vahabzadeh, 2000, p. 114 las reglas numéricas para resolver ecuaciones cúbicas se descubrieron en el siglo XVI). siglo por los algebristas italianos Scipione del Ferro y Niccolo Fontana Tartaglia). Khayyam resuelve estas ecuaciones solo geométricamente, utilizando las propiedades de las secciones cónicas. La construcción de las soluciones de estos catorce cúbicos constituye la mayor parte del tratado de Khayyam & rsquos.

Al igual que en el caso de las ecuaciones cuadráticas, la construcción de las soluciones se logra mediante la introducción de una unidad de longitud, esto permitió a Khayyam representar cada uno de los términos de una ecuación cúbica mediante un paralelepípedo rectangular, de modo que la ecuación algebraica original se traduciría en una ecuación entre sólidos, es decir, entre magnitudes geométricas. De esta manera, Khayyam pudo basar sus manifestaciones en Euclid & rsquos Elementos y Datos, y sobre Apolonio y rsquos Cónicas.

Khayyam primero prueba tres lemas. El primer lema le permite construir un cubo igual a un paralelepípedo rectangular dado. El segundo y tercer lemas se utilizan cada vez que Khayyam necesita representar el número en una ecuación cúbica como un sólido que tiene una base o una altura determinadas. Ahora puede resolver geométricamente la ecuación & ldquoa cube es igual a un número & rdquo (su solución numérica es la raíz cúbica del número). Construye (Figura 8) un paralelepípedo rectangular ABCD cuya base AC es el cuadrado de la unidad y cuya altura BD es igual al número dado. Por tanto, se requiere construir un cubo KHIL igual a ABCD.

Toma dos líneas (E y G) que son medias proporcionales entre AB, BD (es decir, entre la unidad y el número dado) como se muestra en el primer lema, y ​​prueba que el cubo KHIL cuyo lado HI es igual a E, entonces ser igual a ABCD, es decir, al número dado. Por tanto, el lado HI será la solución de la ecuación.

Cada una de las ecuaciones cúbicas restantes se resuelve mediante dos cónicas de una sola rama. Khayyam investiga en cada caso el número de puntos en los que estas cónicas se cruzan o se tocan (sin considerar sus vértices): la ecuación tendrá, en consecuencia, una o dos soluciones. En algunos casos, sin embargo, las cónicas no se cruzan ni se tocan, y la ecuación es "imposible": no se puede resolver geométricamente (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 130-56).

En esta parte de su tratado, Khayyam solo produce pruebas sintéticas, en las que muestra un dominio completo de la geometría griega clásica. Sin embargo, la solución de cada ecuación probablemente se encontró por medio de un análisis Roshdi Rashed ha reconstruido un análisis de este tipo para la ecuación & ldquoa cubo y los lados son iguales a un número & rdquo (es decir, x 3 + bx = c) invirtiendo el orden de Khayyam & rsquos prueba sintética (Rashed y Vahabzadeh, 2000, p. 37). Equivale a lo siguiente, cuando se expresa en el lenguaje matemático utilizado por Khayyam: sea AB el lado de un cuadrado MB igual al número de lados (es decir, ab). Construimos (Figura 9) un paralelepípedo rectangular cuya base es MB y que es igual al número dado (es decir, ac), como se muestra en el segundo lema y sea su altura BC.

Ahora asumimos que el problema se ha resuelto y que BE es el lado del cubo que se busca (es decir, x) y completamos el cuadrado EL. El paralelepípedo EM será igual a los lados (es decir, a bx), pero el paralelepípedo BN es igual al número (es decir, ac). Por lo tanto, el resto del paralelepípedo EN será igual al cubo de BE (es decir, c & ndash bx = x 3), ya que BE es por hipótesis la raíz de la ecuación. En otras palabras, el sólido cuya base es el cuadrado de AB y cuya altura es EC es igual al cubo cuyo lado es BE. Por lo tanto, sus bases serán recíprocamente proporcionales a sus alturas, y el cuadrado de AB es el cuadrado de BE como BE es CE.

Ahora (Figura 10) sea ED una línea perpendicular a BC y tal que AB sea BE como BE a ED. Por lo tanto, AB será a ED en la relación duplicada de AB a BE, es decir, como el cuadrado de AB al cuadrado de BE. Pero el cuadrado de AB es al cuadrado de BE como BE a EC. Por lo tanto, AB es ED como BE para EC y alternativamente AB es BE como ED para EC. Pero AB es SER como SER para ED. Por lo tanto, BE es a ED como ED a EC, por lo tanto, el cuadrado de ED es igual al producto de BE y EC. En consecuencia, el punto D está en un círculo cuyo diámetro es BC. Además, dado que AB debe ser BE como BE a ED, el cuadrado de BE será igual al producto de AB y ED. Por lo tanto, el cuadrado de DG es igual al producto de AB y BG. En consecuencia, el punto D también está en una parábola cuyo vértice es B, cuyo eje es BG y cuyo lado erecto es AB.

Así, el análisis ha llevado a la determinación de la intersección de un semicírculo y una parábola. En la síntesis, Khayyam construye la parábola HBD y el semicírculo BDC, dibuja desde el punto de intersección D la línea DE perpendicular a BC, y luego prueba que BE es el lado del cubo buscado. Según Rashed, los cúbicos restantes se resolvieron utilizando el mismo método (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 37, 130-32) por lo tanto, el análisis anterior probablemente nos da una idea del mismo proceso que llevó a Khayyam a la resolución de la tercera -ecuaciones de grado.

La última parte del tratado de Khayyam & rsquos está dedicada a ecuaciones que involucran la inversa de lo desconocido (es decir, x -1). Para resolver una ecuación como esa, Khayyam toma la inversa como una nueva incógnita y, por lo tanto, es conducido a una de las veinticinco ecuaciones previamente estudiadas. Luego encuentra la solución de la última ecuación y, tomando su inversa, obtiene la solución de la ecuación original. En esta parte de su tratado, Khayyam se aparta de la rigurosa metodología euclidiana exhibida en la resolución de ecuaciones cuadráticas y cúbicas, ya que aquí solo resuelve ecuaciones particulares y no produce ninguna prueba. Además, no restringe el concepto de número a los números naturales como antes, y menciona explícitamente números fraccionarios (Rashed y Vahabzadeh, 2000, pp. 156-59). Así, el hecho de que Khayyam haya descartado fracciones en las partes precedentes de su tratado parece ser deliberado y debe haber sido debido a su deseo de seguir, cuando sea posible, la concepción euclidiana del número, es decir, una multitud compuesta de unidades indivisibles. Pero esto hubiera sido virtualmente imposible cuando se trataba de ecuaciones que involucraban la inversa de lo desconocido.

Ya hemos señalado que una de las características más llamativas del tratado de álgebra de Khayyam & rsquos es la naturaleza geométrica de su argumentación. Por supuesto, las veinticinco ecuaciones que pretende resolver son en sí mismas conceptos algebraicos, y su clasificación difícilmente podría haber sido concebida sin el trabajo previo de Ḵˇārazmi, pero una vez traducidas a una relación entre figuras geométricas, estas ecuaciones se tratan de forma puramente Manera euclidiana. También Khayyam habla constantemente del producto de un rectángulo y una línea recta, donde Euclides hablaría del sólido paralelepípedo con el rectángulo como base y la línea recta como altura (p. Ej., Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 119, 125-26 Heath, III, págs. Sobre la esfera y el cilindro, e incluso en Archimedes & rsquo prueba alternativa a la Proposición II.8 de la misma (Netz, 2004a, pp. 227-31, 320 y sigs. idem, 2004b, pp. 97-120 ver también 2004b, pp. 164-65). En general, parece que en este tratado Khayyam hizo un regreso deliberado a los métodos rigurosos de los geómetras griegos, y que de esta manera pudo construir la teoría de las ecuaciones cuadráticas y cúbicas sobre bases sólidas.

(4) EL TRATADO SOBRE LA EXTRACCIÓN DE LA ENésima RAÍZ DE LOS NÚMEROS

Aparte de las obras precedentes, Khayyam también escribió una obra aritmética a la que alude en su Tratado de álgebra: & ldquoLos ​​indios tienen métodos para determinar los lados de cuadrados y cubos basados ​​en una inducción restringida, es decir, en el conocimiento de los cuadrados de las nueve cifras & mdash me refiero al cuadrado de la unidad, de dos, de tres, y así sucesivamente & mdasy de igual manera de su producto uno en el otro & mdash me refiero al producto de dos en tres, y así sucesivamente. Y hemos escrito un libro para demostrar la exactitud de estos métodos y el hecho de que cumplen los requisitos y hemos aumentado los tipos de los mismos, me refiero a la determinación de los lados del cuadrado al cuadrado, del cubo al cuadrado, del cubed-cube, cualquier grado que pueda alcanzar. Y nadie lo hizo antes que nosotros. Pero estas demostraciones son sólo demostraciones numéricas basadas en los libros aritméticos del Elementos& rdquo (Rashed y Vahabzadeh, 2000, págs. 116-17, con corrección). Este libro no ha llegado hasta nosotros, y sólo se conoce a través de la cita anterior. Sin embargo, MS Or. 199 en la Biblioteca de la Universidad de Leiden (que también contiene una copia del Comentario sobre Euclid & rsquos Elementos) enumera en su portada, sin incluirla, una obra de Khayyam titulada Mo & scaronkelāt al-ḥesāb (Las dificultades de la aritmética). Este trabajo puede corresponder a su tratado sobre la extracción de enésimas raíces (Rosenfeld y Youschkevitch, VII, pp. 325-26 Youschkevitch, pp. 76, 80).

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Razones de magnitudes en lugar de diferencias - Astronomía

Al brillo de las estrellas se le asigna un número que comienza con la estrella más brillante que comienza en aproximadamente -1 magnitud. Las estrellas más tenues son cero o números positivos. Cuanto mayor sea el número, más tenue será la estrella. Por ejemplo, una estrella de magnitud -1 es más brillante que una estrella de magnitud 0. Una estrella de magnitud 0 es más brillante que una estrella de magnitud 1. Una estrella de magnitud 1 es más brillante que una estrella de magnitud 2. Una estrella de magnitud 4 es más brillante que una estrella de magnitud 5. La secuencia de magnitud para las estrellas que comienzan con la más brillante es -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 de magnitud,. etc.

El punto decimal no se usa cuando se usan magnitudes de estrellas en un mapa estelar. El punto decimal podría confundirse con una estrella en el mapa. En la parte superior de esta página se encuentra la constelación de la Osa Menor con magnitudes de estrellas para algunas de sus estrellas. Por ejemplo, la magnitud 31 en el mapa estelar significa 3,1 y la magnitud 55 en el mapa estelar significa 5,5.

Históricamente, el sistema de magnitudes comenzó con Hipparcus y Ptolomeo cuando dividieron las estrellas en seis magnitudes. Aproximadamente 20 de las estrellas más brillantes que pudieron observar desde su ubicación fueron asignadas a la primera magnitud. El siguiente conjunto de estrellas brillantes se asignó a la segunda magnitud y así sucesivamente. Las estrellas de sexta magnitud se asignaron a estrellas que apenas eran visibles a simple vista en condiciones favorables. Se determinó empíricamente que la relación de primera magnitud a sexta magnitud era de 100 a 1. Se implementa una escala logarítmica de 2.512 entre niveles de magnitud. Por ejemplo, una estrella de primera magnitud es 100 más brillante que una estrella de sexta magnitud o la estrella de sexta magnitud es 1/100 o 0,01 más tenue que una estrella de primera magnitud. Segundo ejemplo, una estrella de quinta magnitud es 2,512 veces más brillante que una estrella de sexta magnitud o la estrella de sexta magnitud es 1 / 2,512 o 0,40 más tenue que una estrella de quinta magnitud. Una estrella es 2,512 veces más brillante que una estrella de una magnitud menos.

Magnitud de estrellas Cuánto más brillante
que una estrella de sexta magnitud
Escala logarítmica de
2.512 X entre niveles de magnitud
Comenzando en Sexta Magnitud
1 100 veces 2,51 x 2,51 x 2,51 x 2,51 x 2,51
2 39,8 veces 2,51 x 2,51 x 2,51 x 2,51
3 15,8 veces 2,51 x 2,51 x 2,51
4 6,3 veces 2,51 x 2,51
5 2,51 veces 2,51 x
6

Con la invención del telescopio y los equipos modernos para medir magnitudes de estrellas, la escala se ha ampliado en ambas direcciones. A las estrellas más tenues se les asignan magnitudes mayores que 6 (6, 7, 8, 9,. 30, etc.). La imagen de campo profundo del Telescopio Espacial Hubble contiene algunas galaxias tan débiles como de magnitud 30. Las estrellas de primera magnitud se corrigen en la escala de 1, 0, -1 con la estrella más brillante Sirio en -1,44. La escala aumenta de brillo con números negativos. Por ejemplo, el planeta más brillante Venus varía en brillo y tiene una magnitud de -4,4 con el brillo máximo. La Luna tiene una magnitud de -12,7 con el brillo máximo y el Sol una magnitud de -26,75.

La siguiente tabla de magnitudes de estrellas basada en una estrella de magnitud -1 muestra cuánto más tenues que una estrella de magnitud -1 son las estrellas de magnitud 19. Por ejemplo, la mayoría de los prismáticos de 10 x 50 o 7 x 50 pueden detectar una estrella de magnitud 9. Una estrella de magnitud 9 es una décima parte de mil (1 / 10,000 o 0,0001) más tenue que una estrella de magnitud -1.

Tabla de magnitudes de estrellas que muestra cuánto atenuador
Otras magnitudes se comparan con una estrella de magnitud -1


Razones de magnitudes en lugar de diferencias - Astronomía

Recuerda mostrar todo tu trabajo y poner tu respuesta final a cada pregunta en forma de completa oración en inglés!

1. Suponga que se descubre una determinada estrella cefeida variable en una galaxia cercana con un período de 20 días.

a) Según el gráfico de la figura 23.7, ¿cómo se compara la luminosidad promedio de esta estrella con la luminosidad del Sol?

b) Dado que la magnitud absoluta del Sol es +5, ¿cuál es la magnitud absoluta promedio de esta estrella?

c) Digamos que esta estrella tiene una magnitud aparente promedio de 10. ¿A qué distancia está la galaxia en la que se encuentra esta estrella, en parsecs? ¿En años luz?

2. a) Una galaxia elíptica enana "típica" tiene una magnitud absoluta total de -15. Nuestros telescopios pueden detectar elípticas enanas con magnitudes aparentes tan débiles como +20. ¿Cuál es la distancia de la elíptica enana más lejana que podemos detectar actualmente? ¿Cómo se compara esta distancia con el diámetro del grupo local? ¿Cómo se compara con la distancia al cúmulo de Virgo?

b) ¿Cómo sería diferente su respuesta si la magnitud absoluta de la galaxia "típica" fuera -12 en lugar de -15?

3. Se encuentra que un cuásar tiene un corrimiento al rojo de z = (cambio de longitud de onda) / (longitud de onda en reposo) = 2,45. Este quásar tiene un corrimiento al rojo mayor que 1, por lo que debemos usar la fórmula del efecto Doppler relativista:
v = c X ((z + 1) 2 -1) / ((z + 1) 2 +1)

a) Utilice la fórmula del efecto Doppler relativista para determinar la velocidad de recesión de esta galaxia.

b) Suponga un valor para la constante de Hubble de 75 km / seg / Mpc. ¿Cuál es la distancia a esta galaxia? ¿Cuánto tiempo ha estado viajando la luz de este objeto para llegar a nosotros?

c) ¿Cuál es la magnitud absoluta de este objeto si su magnitud aparente es +18? Si la magnitud absoluta del Sol es +5, ¿cuánto más brillante que el Sol es este cuásar?


Razones de magnitudes en lugar de diferencias - Astronomía

Profesor asociado de astronomía | Universidad de California, Berkeley

FAST (Ajuste y evaluación de plantillas sintéticas) es un código basado en IDL que ajusta plantillas de síntesis de población estelar a fotometría y / o espectros de banda ancha. FAST es compatible con el código de corrimiento al rojo fotométrico EAzY (Brammer et al. 2008) cuando se ajusta la fotometría de banda ancha utiliza los corrimientos al rojo fotométricos derivados de EAzY, y los archivos de entrada (catálogo fotométrico, archivo de filtro maestro, etc.) son los mismos. FAST también se adapta a los espectros, opcionalmente en combinación con puntos de datos fotométricos de banda ancha. Dependiendo de los parámetros de entrada, FAST genera el desplazamiento al rojo, la edad, el contenido de polvo, la escala de tiempo de formación de estrellas, la metalicidad, la masa estelar, la tasa de formación de estrellas (SFR) y sus intervalos de confianza que mejor se ajustan. La principal diferencia con HYPERZ es que (1) FAST ajusta los flujos en lugar de las magnitudes, (2) puede definir completamente su propia cuadrícula de parámetros de población estelar de entrada, (3) puede ingresar fácilmente los desplazamientos al rojo fotométricos y sus intervalos de confianza, y (4 ) FAST calcula los intervalos de confianza calibrados para todos los parámetros. Sin embargo, tenga en cuenta que, aunque se puede utilizar como uno solo, FAST no es un código fotométrico de corrimiento al rojo.

FAST lee en un archivo de parámetros (ver ejemplo) y crea un cubo de flujos de modelo para la cuadrícula de población estelar completa y todos los filtros y / o elementos espectrales. Para determinar los parámetros de mejor ajuste, simplemente usa el ajuste χ2. Para evitar saltarse los mínimos (múltiples), FAST no utiliza un algoritmo de búsqueda mínimo, sino que se ajusta a todos los puntos del cubo del modelo. En caso de que se proporcionen corrimientos al rojo espectroscópicos o fotométricos, el corrimiento al rojo se fijará al valor más cercano en la cuadrícula.

Los niveles de confianza se calibran mediante simulaciones de Monte Carlo. Los flujos observados se modifican de acuerdo con sus errores fotométricos, y estos flujos modificados también se ajustan. Los intervalos de confianza del 68% (95% o 99%) se definen por el valor de χ2 en la cuadrícula original que encierra el 68% (95% o 99%) de estas simulaciones. Por lo tanto, los intervalos de confianza en todas las propiedades son los valores mínimo y máximo permitidos por este umbral de χ2. En caso de que se asuman desplazamientos al rojo fotométricos (como los proporciona EAzY), el cálculo de los intervalos de confianza es un poco más complicado. En el Apéndice de Kriek et al. (2009) puede encontrar más información sobre este tema.

La versión más reciente se puede descargar aquí. Envíeme un correo electrónico si usa FAST, para que pueda agregarlo a la lista de correo electrónico y actualizarlo en caso de que haya una nueva versión disponible. Si usa el código, cite el siguiente documento (la descripción del código se puede encontrar en el Apéndice): Kriek et al. (2009). Cualquier pregunta o comentario es bienvenido, pero primero consulte la documentación en el archivo de parámetros y la página de preguntas frecuentes.

Por último, compruebe siempre los archivos de salida. ¿El ajuste se ve bien? ¿Es el corrimiento al rojo de salida realmente similar al corrimiento al rojo de entrada, etc. Si bien probamos FAST de manera exhaustiva, es posible que todavía haya errores? Por favor envíeme un correo electrónico si encuentra alguno y tenga en cuenta que el uso de FAST es bajo su propio riesgo.


Razones de magnitudes en lugar de diferencias - Astronomía

Tim Hunter es un compañero de clase y propietario / operador de dos excelentes observatorios en Arizona: el Observatorio 3 Towers y el Observatorio Grasslands. Su proyecto en M67 es similar al mío, pero especial porque en lugar de usar los datos proporcionados, decidió usar los suyos. Su proyecto destaca cómo capturó sus propias imágenes científicas y las utilizó para crear un diagrama de magnitud de color de M67.

Los diagramas de magnitud de color (CMD) del cúmulo abierto M67 (NGC2682) se construyeron a partir de datos obtenidos con un telescopio Meade LX200 de 12 pulgadas en el Observatorio 3towers en Tucson, Arizona, y a partir de datos obtenidos con el f / 5 de 24 pulgadas telescopio en el Observatorio de Pastizales cerca de Sonoita, Arizona. El CMD traza magnitudes V versus índices de color B-V y magnitudes R versus índices de color B-R para estrellas seleccionadas en el cúmulo. Los diagramas obtenidos generalmente se ajustan a los datos publicados.

M67 es un cúmulo abierto bien estudiado (Gilliland, Nissen, Sanders, Sandquist). Fue descubierto por Messier en 1780, aunque hay evidencia de que fue observado anteriormente por Johann Gottfried Kohler (Archinal, 2003). M67 es visible a simple vista en un sitio de cielo oscuro. Archinal y Hynes (2003) consideran que M67 es un grupo inusual en muchos aspectos. Se encuentra lejos del plano galáctico, es bastante grande y está extendido. Se podría concluir que está cerca y todavía cerca del disco galáctico donde se formó, o es bastante antiguo y ha viajado alrededor de la galaxia muchas veces. Si es viejo y ha viajado alrededor de la galaxia, probablemente haya sido perturbado en una órbita sobre el disco galáctico lejos de donde se encuentran la mayoría de los cúmulos abiertos. Esto ha permitido que M67 envejezca con gracia sin muchas molestias.

El presente proyecto consiste en la construcción de diagramas de magnitud de color (CMD's) para M67 utilizando observatorios de aficionados y equipos de imágenes. Los CMD y los datos que los acompañan se comparan con datos profesionales y se discuten sus limitaciones. Además, los CMD y sus datos se utilizan para hacer inferencias razonables sobre la distancia y la edad de M67. ¿M67 está cerca y es joven, o está lejos y es viejo?

El Observatorio 3towers está ubicado en las estribaciones de Catalina a cinco millas al norte del centro de Tucson, Arizona, a una altitud de 2600 pies (792 metros). Contiene un telescopio Meade LX200 de 12 pulgadas, una cámara Apogee AP7 CCD (chip SITe 512 x 512 24 micrones delgado y retroiluminado) y una rueda de filtros ISIS FW-1 con Johnson-Cousins ​​R, V, B, I, y filtros parafocales claros (Hunter, # 1). El campo de visión del CCD es de 21,7 minutos de arco, con 2,5 segundos de arco por píxel.

Se obtuvieron imágenes de M67 y dos campos estándar Landolt el 23 de marzo de 2004, una noche clara con una ligera neblina en el cielo del este sin neblina visible cerca de la ubicación de M67 o las estrellas estándar utilizadas para el proyecto. Se tomaron una serie de cinco sesgos y cinco imágenes oscuras de 60 segundos justo antes de la obtención de imágenes de M67. La cámara CCD funcionó a una temperatura de -35 0 C para todas las imágenes. Las imágenes sesgadas y oscuras se combinaron cada mediana para producir marcos maestros oscuros y sesgados maestros. Las imágenes de M67 consistieron en exposiciones de 60 segundos a través de filtros fotométricos V, B y R Johnson-Cousins. En la figura 1 se muestra un ejemplo de una de las imágenes:

Los fotogramas planos para cada color se obtuvieron después de que se tomaron los fotogramas de color individuales de M67. El telescopio LX200 Meade tiene una considerable `` caída de espejo '', y las imágenes planas más precisas se obtienen colocando una cubierta de plástico translúcido sobre la placa correctora y exponiendo el cielo durante varios minutos en la ubicación exacta del telescopio utilizado para las imágenes de datos. Las imágenes de M67 se tomaron con el objeto que tenía una masa de aire de 1.07 para las imágenes B y R y 1.10 para la imagen V.

Se tomaron imágenes de dos campos Landolt Standard Star. Fueron elegidos de la base de datos WIYN CCD de Standard Fields (Smith, 1998). Los campos eran los más cercanos a M67 y tenían una masa de aire de 1,44 y 1,30 en el momento de sus observaciones. Se centraron en RA = 08:53:45, diciembre = - 00:34:30 y RA = 09:21:32, diciembre = 02:47:00, respectivamente. Las figuras 2 y 3 ilustran imágenes V de estos campos:

La imagen de datos de M67 en cada color y las imágenes de Landolt Standard Star fueron calibradas por MaxIm DL / CCD usando el sesgo maestro, el maestro oscuro y las imágenes planas para cada color (Diffraction Ltd, 2003). La calibración utilizó la escala automática de fotogramas oscuros y se aplicó a las imágenes planas. Se eligió MaxIm DL / CCD para la calibración, porque era el software utilizado para controlar la cámara CCD Apogee AP7 (Apogee, 2004).

Los puntos cero fotométricos en cada caso se obtuvieron ponderando por igual las cinco estrellas estándar en cada campo. Se utilizó Mira Pro 7.0 (Axiom, 2004) para medir estos campos estándar, así como las imágenes de datos V, B y R de M67. La herramienta de fotometría de apertura se configuró en la configuración predeterminada de Mira, utilizando un radio objetivo de 7 píxeles con radios anulares del fondo del cielo establecidos en 20 y 25 píxeles para todas las mediciones. La mitad máxima de ancho completo (FWHM) para la imagen V M67 fue de 2.4 píxeles.

Se creó una imagen en color de M67 utilizando las imágenes separadas en B, V y R. Se etiquetaron ciento nueve estrellas en esta imagen para facilitar la identificación durante la medición fotométrica de las imágenes en color separadas. Sanders (1977 1989) predijo que las estrellas elegidas para el etiquetado y el análisis fotométrico posterior tenían una probabilidad superior al 50% de ser miembros de M67. La figura 4 ilustra estas estrellas:

Originalmente se seleccionaron un total de 109 estrellas para medir. Veinticuatro de estas estrellas son dobles o están lo suficientemente cerca de otras estrellas como para incluir más de una estrella en la apertura de la fotometría. Estas estrellas se eliminaron de la medición, y luego se midieron un total de 85 estrellas M67 en las imágenes individuales V, B y R. El catálogo de Guide Star Catalog (GSC) y los listados de Sanders (1977) para estas estrellas se muestran en la Hoja 1 del archivo adjunto de Excel. 3towersM67ColorMagDiag.xls.

Los puntos cero fotométricos elegidos para las mediciones de Mira Pro 7.0 de las imágenes M67 se extrapolaron linealmente de los puntos cero fotométricos para los campos estándar de Landolt y son los siguientes:

M67 V (masa de aire 1,10) 18,864 M67 B (masa de aire 1,07) 18,731 M67 R (masa de aire 1,07) 18,766.

Nota: ¡el punto cero fotométrico de campo estándar de Landolt para B en realidad disminuyó de 18.675 con una masa de aire de 1.44 a 18.471 con una masa de aire de 1.3! Esto es difícil de explicar, y se supone que cuando la imagen B del campo Landolt Standard en la masa de aire 1.3 estaba siendo expuesta, una nube cirro inadvertida pasó sobre el campo reduciendo la magnitud límite fotométrica. Se extrapoló un punto cero fotométrico para B para M67 con una masa de aire de 1,07 a partir de las relaciones entre los puntos cero fotométricos de B, V y R en el campo estándar de Landolt con una masa de aire de 1,44.

Se calcularon las correcciones de masa de aire para V y R, utilizando las siguientes fórmulas (se ilustra V):

mV- V = + x1V + x3V 1.3, para Landolt Standard Field con masa de aire 1.3

mV-V = + x1V + x3V 1,44, para Landolt Standard Field con masa de aire 1,44

x1V = término de compensación constante x3V = término de corrección de la masa de aire

En el caso de cada color, V, B o R, hay dos ecuaciones y dos incógnitas. Resolviendo estas ecuaciones para V y R se obtuvieron correcciones de masa de aire de 0.166 para V y 0.164 para R. No se pudo obtener ninguna corrección de masa de aire para B, porque los puntos de datos para los valores de B del campo Landolt en la masa de aire 1.3 son sospechosos. Este plazo se fijó en 0,25. Este valor se seleccionó a partir del examen de una serie de referencias que enumeran los valores de corrección de la masa de aire para el Observatorio Nacional de Kitt Peak cerca de Tucson (Everett, 2001 Romanishin Walker). Representa una estimación aproximada de la corrección de la masa de aire real para el sitio de las 3 torres, que tiene casi las mismas condiciones desérticas que Kitt Peak, aunque se encuentra a una altitud menor.

La revisión inicial de los CMD producidos a partir de los datos de estas 85 estrellas arrojó un gráfico algo escaso que dificultaba el reconocimiento de una tendencia definida de cúmulos (ver los Resultados a continuación). Como consecuencia, se recopilaron datos fotométricos sobre otras 265 estrellas en el campo M67. Esto se examinó de cerca y 223 de las 265 estrellas se seleccionaron cuidadosamente para medirlas en función de su probabilidad de ser miembros de M67 (Sanders, 1977).

A continuación, se examinaron los datos del Observatorio de pastizales. El 19 de marzo de 2004, cuatro días antes del inicio formal de este proyecto, se obtuvieron imágenes de M67 en el Observatorio Grasslands a través de filtros V, B y R utilizando el telescopio f / 5 de 24 pulgadas en el observatorio (Hunter, # 2). Se utilizó un CCD Finger Lakes Instrumentation Dream Machine (1024 x 1024, chip SITe retroiluminado de 24 micrones de espesor) con una rueda de filtros de color CFW-1 que contenía filtros fotométricos Johnson-Cousins ​​(Finger Lakes). Las exposiciones fueron de 60 segundos V, 90 segundos B y 30 segundos R. El campo de visión del CCD fue de 28 minutos de arco, con 1,8 segundos de arco por píxel. El FWHM para la imagen del M67 V fue de 2,7 píxeles. La masa de aire para M67 fue 1,1.

La imagen R se descartó para fotometría debido a la nubosidad parcial cuando se tomó la imagen. Las imágenes se calibraron utilizando imágenes estándar de Bias, Dark y Flat Field que se utilizan habitualmente en el Observatorio de Grasslands. Desafortunadamente, no se obtuvieron campos estándar de Landolt con las imágenes de M67. Los resultados de las 85 estrellas seleccionadas medidas en el Observatorio 3towers se utilizaron para caracterizar los puntos cero fotométricos de las imágenes de Grasslands V y B. La cámara Grasslands CCD funcionó a una temperatura de -35 0 C para todas las imágenes, y el software que controlaba la cámara y las técnicas de software utilizadas para las mediciones de datos fotométricos fue el mismo que se utilizó para los datos del Observatorio 3towers.

Los datos brutos de Mira Pro 7.0 para este proyecto para las estrellas en M67 están contenidos en los archivos de Excel adjuntos, 3towersMiraRawData.xls y PastizalesMiraRawData.cvs. Estas hojas de datos incluyen información sobre recuentos netos, errores y relaciones señal / ruido para las mediciones de estrellas individuales.

Resultados del Observatorio 3towers

Los resultados fotométricos instrumentales y corregidos de este proyecto se muestran en el archivo Excel adjunto. 3towersM67ColorMagDiag.xls. Hoja 1 delinea las 85 estrellas medidas originales, el número de estrellas de Sanders (1989) para cada estrella y el listado del Catálogo de Estrellas Guía (GSC) para cada estrella medida. Las magnitudes instrumentales y corregidas V, B y R para cada estrella se muestran como índices de color B-V y B-R calculados para cada estrella. La columna H calcula la diferencia entre las magnitudes V de Sanders (1989) para cada estrella frente a las magnitudes V obtenidas para este proyecto. La diferencia promedio entre las magnitudes de Sanders y Hunter V es 0.23. La Figura 5 representa el diagrama de magnitud de color de M67 para estas 85 estrellas que muestra la magnitud V frente al índice de color B-V.

Hoja 2 muestra datos de las 265 estrellas adicionales del campo M67. Estas estrellas fueron seleccionadas al azar, mientras hoja 3 muestra datos de 223 estrellas específicamente seleccionadas porque cumplen con los criterios de Sanders 1977 para una probabilidad superior al 50% de ser miembros de M67. Cuando los datos de estas estrellas se combinan con los datos de las 85 estrellas originalmente seleccionadas y medidas, se produjeron nuevos diagramas de magnitud de color que muestran la magnitud V frente al índice de color B-V (figura 6) y la magnitud R frente al índice de color B-R (figura 7).

Resultados del Observatorio de Pastizales

La cámara CCD de instrumentación de Finger Lakes en el Observatorio Grasslands tiene 4 veces el área de la cámara Apogee AP7 en el Observatorio 3towers. Se midieron quinientas veinticuatro estrellas en las imágenes de Grasslands. Los resultados fotométricos de estos datos se muestran en el archivo adjunto, PastizalesM67Data.xls. Los puntos cero fotométricos instrumentales V y B para los datos de Grasslands se determinaron tomando las magnitudes corregidas para las estrellas Hunter 1-8 en los datos del Observatorio 3towers y usándolas como estrellas estándar para los datos de Grasslands. Esto produjo un punto cero fotométrico V de 20.728 y un punto cero fotométrico B de 20.621. Las magnitudes instrumentales de las 524 estrellas medidas se corrigieron usando una corrección de masa de aire en V de 0.12 magnitudes y B de 0.20 magnitudes basadas en el hecho de que el Observatorio de Pastizales está a una altitud de 5000 pies (

1525 metros) no es mucho menor que la altitud del Observatorio de Kitt Peak. La Figura 8 muestra una imagen en color compuesta de M67 de las imágenes individuales V, B y R, y la Figura 9 muestra un diagrama de magnitud de color de la magnitud V frente a los índices B-V para los datos de Pastizales.

Los diagramas de magnitud de color derivados para M67 coinciden en general con los publicados en la literatura profesional. Las figuras 10-12 muestran diagramas de magnitud de color de M67 de tres fuentes profesionales diferentes:

M67 es un cúmulo antiguo con muchas de sus estrellas que han abandonado la secuencia principal. Incluso los diagramas de magnitud de color limitados producidos para este proyecto muestran un desvío de secuencia principal y una rama gigante. El extremo inferior de la secuencia principal no se muestra en los datos de las 3 torres, pero es evidente en los datos de Pastizales, aunque los datos de Pastizales no son tan débiles como los datos de Gilliland.

Los diagramas de color y los valores fotométricos de este proyecto están limitados por una serie de factores. La secuencia principal no está bien representada porque hay muy pocas estrellas para un diagrama completo. La magnitud V límite efectiva para los datos del Observatorio 3towers es 15, mientras que muchas de las estrellas de la secuencia principal en M67 están por debajo de esta magnitud. Gilliland (1991), por ejemplo, traza estrellas hasta la magnitud 22. Las limitaciones de magnitud en este documento son un reflejo del tamaño relativamente pequeño del telescopio del Observatorio 3towers, los tiempos de exposición relativamente cortos y las limitaciones de los cielos suburbanos (magnitud límite visual sobre la cabeza 5,5) en el Observatorio 3towers. Los datos del Observatorio de pastizales son más débiles a la magnitud 17, pero sus valores están vinculados a los del Observatorio de las 3 torres, ya que no se tomaron campos estándar de Landolt con los datos de Pastizales.

La Tabla 2 muestra los recuentos de magnitudes V fotométricas de 3 torres para estrellas seleccionadas que representan magnitudes 10.5-15. Éstos demuestran buenos recuentos para las estrellas más brillantes, pero es evidente que las estrellas más débiles que la magnitud 14 sufren de recuentos bajos, y su precisión esperada no puede ser mejor que 0,02 magnitudes.

Sin embargo, para 85 estrellas seleccionadas, las magnitudes del Observatorio V de 3 torres difieren de Sanders (1989) solo en un promedio de 0,23 magnitudes. Las magnitudes de Sanders son una combinación de su propio trabajo y el trabajo de otros, algunos de los cuales incluyen datos fotográficos. También debe tenerse en cuenta que hay siete estrellas (Hunter # 21, 26, 46, 72, 87, 99 y 102) que difieren de las de Sanders en más de 0,5 magnitudes. La razón de esto es desconocida. No parece estar correlacionado con los índices B-V de las estrellas individuales. Las estrellas n. ° 72 (Sanders 963 GSC 814: 2317) y n. ° 102 (Sanders 770 GSC 813: 2212) difieren de los resultados de Sanders en más de una magnitud. Una inspección minuciosa de las imágenes de datos obtenidas en el Observatorio 3towers y la tabla de identificación publicada por Sanders en 1977 muestra que no hubo una identificación errónea de las dos estrellas. La inspección visual de la imagen V de M67 muestra que estas dos estrellas eran definitivamente más brillantes que las respectivas magnitudes V de 14,46 y 14,64 enumeradas por Sanders. Estas estrellas tienen índices B-V respectivos de 0,502 y 0,587 y, por lo demás, no son notables. Es posible que se hayan medido por error en el pasado o pueden ser estrellas variables. Un proyecto futuro interesante sería monitorear la variabilidad de estas y otras estrellas M67 seleccionadas.

Este proyecto podría haberse mejorado tomando exposiciones de datos M67 más prolongadas y utilizando datos del telescopio más grande en el Observatorio de pastizales obtenidos de una manera más sistemática con los campos estándar de Landolt. Esto habría permitido la fotometría en estrellas más débiles. Las exposiciones se limitaron a 60 segundos en el Observatorio de las 3 torres para asegurar que hubiera un pequeño error de guía. El telescopio Meade LX-200 en el Observatorio 3towers no tiene un seguimiento preciso, y las exposiciones de más de 60 segundos con frecuencia muestran un seguimiento significativo. Se podrían haber sumado exposiciones más cortas, pero esto presenta problemas potenciales para la reducción y calibración de datos con las secuencias de campo estándar de Landolt. Si se usaran exposiciones más largas en el telescopio Meade LX-200 de 12 pulgadas en el Observatorio 3towers o en el telescopio f / 5 de 24 pulgadas en el Observatorio Grasslands, las estrellas más brillantes en M67 se saturarían. Por lo tanto, una amplia gama de mediciones de magnitud fotométrica para M67 requiere una serie de exposiciones diferentes para el grupo.

Otra limitación del proyecto, tal como se presenta en este documento, radica en la falta de una estandarización completa del telescopio / sistema CCD del Observatorio de 3 torres con las condiciones del cielo y la falta de campos estándar de Landolt para los datos del Observatorio de pastizales. Se deberían haber tomado imágenes de uno o más campos estándar de Landolt a lo largo de la noche en una amplia gama de masas de aire desde el cenit, si es posible, hasta al menos la masa de aire 2 (ángulo cenit 60 0). Esto habría asegurado una corrección de masa de aire mucho mejor para las secuencias V, B y R, y si los datos de campo del estándar Landolt se hubieran examinado a medida que se obtuvieron, el problema experimentado con las imágenes de campo del estándar B como se discutió anteriormente podría haberse obviado. .Un proyecto futuro para ambos observatorios es realizar dicha rutina de estandarización para uno o más campos Landolt durante una secuencia de dos a tres noches. Estos datos podrían luego recopilarse y servir como base para futuros esfuerzos fotométricos. La calibración adecuada de los datos fotométricos con los campos estándar de Landolt que se obtienen la misma noche en que se toma un conjunto de datos seguirá siendo un requisito para la fotometría más precisa.

Dos objetivos de este proyecto eran producir una estimación aproximada del módulo de distancia de M67 y estimar la edad de M67. El examen de los CMD para V versus B-V (figuras 5 y 6) muestra que el punto de desvío de la secuencia principal para el grupo ocurre aproximadamente entre magnitudes V 12.0-13.0 con un índice de color de 0.5-0.7. Una estrella de secuencia principal representativa en M67 cerca del punto de desvío tiene una magnitud V de 12,5 y un índice B-V de 0,6. Una estrella de este tipo con un índice de color B-V de 0,58 es una estrella G0 con una magnitud absoluta MV de 4.2 (Ostlie, 1996). Si esta estrella es representativa de la parte superior de la secuencia principal en M67, entonces un módulo de distancia calculado de M67 es 12.5-4.2, o 8.3, que es equivalente a una distancia de 457 parsecs. Sandquist (2004) obtuvo un módulo de distancia para M67 de 9,72 y Sanders (1989) enumera un módulo de distancia de 9,5. La estimación actual está desviada en más de una magnitud debido a su enfoque muy simplista, pero proporciona evidencia de que M67 no está cerca.

Estimar la edad de M67 requiere el uso de isócronas sofisticadas, un esfuerzo más allá del alcance de este proyecto. Sin embargo, al lanzarse hacia adelante y nuevamente utilizando la supuesta estrella G0 en la parte superior de la secuencia principal de M67, se observa que esta estrella es un poco más masiva que el Sol (Mestrella/Masasol = 1,05). Tendrá una vida un poco más corta en la secuencia principal que el Sol, cuya vida útil en la secuencia principal se estima en 10 10 años. Actualmente, el Sol tiene casi 5 x 10 9 años. Una estrella G0 cerca del final de la secuencia principal debe tener al menos esta edad. Para ser conservadores, se estimará una edad de 5 mil millones de años para M67. Este valor se compara favorablemente con las estimaciones de edad más recientes de M67 de 4-5 mil millones de años (Archinal, 2004 Sandquist, 2004). Las estimaciones profesionales anteriores habían colocado su edad como algo mayor. Claramente, M67 es bastante antiguo para un clúster abierto. Su edad se mide en gigayos, no en millones o cientos de millones de años.

Los diagramas de magnitudes de color de M67 obtenidos para este proyecto son limitados pero son una representación razonable de las características de M67. Apoyan la creencia generalizada de profesionales de que M67 es un cúmulo abierto muy antiguo inusual.

Apogee Instruments, Inc., Auburn, CA.

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Intensidad

Terremoto intensidad mide la fuerza con la que el terremoto impacta una ubicación específica. En la analogía de la bombilla, es el brillo con el que percibe la luz en un lugar de una habitación. ¿Puedes leer un libro en letra pequeña junto a la lámpara? ¿Coger una aguja? ¿Realizar una cirugía delicada? Depende de la potencia de la bombilla y de lo lejos que estés de ella, ¿verdad? Si trazó un mapa del brillo en términos de lo que podría lograr al nivel de luz en una habitación, tendría un mapa de intensidad.

Bueno, puede hacer un mapa de los impactos de los terremotos utilizando la Escala de intensidad de Mercalli modificada (MMI), que se deriva de una escala anterior de Rossi-Forel de diez grados, posteriormente revisada por el vulcanólogo italiano Giuseppe Mercalli en 1884 y 1906 para cuantificar (algo) la efectos del terremoto. En 1931, los sismólogos estadounidenses Harry Wood y Frank Neumann publicaron mejoras adicionales para una construcción más moderna. Las medidas de intensidad utilizando la escala de Mercalli Modificada, se componen de 12 niveles crecientes que van desde temblores imperceptibles hasta destrucción catastrófica, generalmente designados con números romanos, lo que enfatiza su naturaleza semicuantitativa. Mientras que un terremoto tendrá una magnitud (bueno, como se indica a continuación, es probable que haya varias estimaciones diferentes de la magnitud de un terremoto según el tipo de estimación, etc.), para cada terremoto individual habrá un rango de intensidades según en parte en la magnitud de la fuente, pero también en la ubicación del sitio en el que se observó la intensidad.


Preguntas sobre SQM-LE

No, el SQM-LE no es resistente a la intemperie. Para un montaje permanente en el exterior, debe montarse en una carcasa resistente a la intemperie.

Para las personas que utilizan la unidad solo durante las observaciones del telescopio, el medidor se puede guardar con el telescopio.

  • El gabinete debe estar termostatizado y calentado para mantener la condensación fuera de la parte superior del domo.
  • Debe haber algo de flujo de aire dentro del gabinete para evitar la condensación.
  • El flujo de aire de adentro hacia afuera generalmente significa que los insectos son un factor y eso significa que se necesitaría una pantalla.
  • Hacer circular el aire puede requerir un ventilador.

Sí, el calor generado dentro del SQM-LE por el servidor web interno es lo suficientemente alto para eliminar el rocío. Cuando se usa con esta carcasa, nunca se vio rocío dentro de la unidad. De hecho, las gotas de lluvia sobre la cubierta de vidrio se evaporaron después de unas horas.

Puede ser importante dejar escapar la humedad, por eso tenemos un orificio de ventilación en la parte inferior de nuestra carcasa.

En lo que respecta a las heladas, la unidad está demasiado caliente para permitir eso. Si la unidad no tiene alimentación, es probable que se acumule humedad. Probablemente sea mejor mantener siempre encendida la unidad.

¿Cómo puedo reducir el cableado al SQM-LE?

  1. El inyector PoE suministra energía a un cable Ethernet.
  2. El divisor PoE se alimenta del cable Ethernet.

El inyector PoE se ubicaría cerca del enrutador y el divisor PoE se ubicaría cerca del SQM-LE.

La fuente PoE es muy útil si no tiene una toma de corriente cerca del SQM-LE. Puede simplemente pasar el cable Ethernet al divisor PoE y luego los cables cortos vienen del divisor al SQM-LE.