Astronomía

Métodos de propagación de errores para parámetros orbitales

Métodos de propagación de errores para parámetros orbitales

Recientemente encontré un artículo en nuestra revista de divulgación astronómica local. Se trata de una tarea bien conocida de la estimación de la masa del agujero negro de Sgr A *. El artículo está escrito como una guía paso a paso para jóvenes investigadores. Por ejemplo, los parámetros orbitales de la estrella S2 deben encontrarse usando un dibujo en una hoja de papel.

Por eso creí que no había necesidad de muy preciso cálculos para esta tarea.

Sin embargo, además de $ x $, $ y $ coordenadas de la estrella S2, también me dieron los valores de incertidumbre correspondientes $ Delta x $, $ Delta y $ (19 mediciones de coordenadas para el período de tiempo de 1992 a 2003):

begin {array} {| c | c | c | c |} hline time & x & Delta x & y & Delta y hline 1992.226 & 0.104 & 0.003 & -0.166 & 0.004 1994.321 & 0.097 & 0.003 & -0.189 & 0.004 … &… &… &… & 2003.353 & 0.077 & 0.002 & -0.030 & 0.002 2003.454 & 0.081 & 0.002 & -0.036 & 0.002 hline end {array}

Usando el método directo de mínimos cuadrados para el ajuste orbital S2 por una elipse, encontré parámetros $ a, b, c, d, e, f $ de la ecuación cónica: $$ ax ^ 2 + bxy + cy ^ 2 + dx + ey + f = 0 $$ También he decidido simular el propagación de errores en un estilo de Monte Carlo para encontrar la incertidumbre en las estimaciones de $ a, b, c, d, e, f $. Y lo logré.

Pero aqui esta la pregunta: Hay alguna otro manera apropiada, "analítica" (no un método de Monte Carlo) para encontrar la incertidumbre en las estimaciones de $ a, b, c, d, e, f $ que se puede utilizar en la práctica habitual de los astrónomos?


El comentario de ProfRob ya es la respuesta:

A menos que pueda linealizar el modelo, no hay una estimación del error analítico.

Considero que la estimación de errores es muy importante, por lo que me gustaría mostrar un poco más de detalles aquí: Una forma de estimar el error de un modelo es mediante la propagación del error gaussiano; consulte en particular la parte de la entrada de Wikipedia sobre combinaciones no lineales. Permítanme resumir brevemente la idea subyacente, ya que el artículo de Wikipedia no es tan fácil de seguir. También usaré diferentes nombres de variables para que no se superpongan con los de su pregunta.

Empezamos con una función $ varphi $ que depende de diferentes variables $ x_1, x_2, ldots $, significado $ varphi = varphi (x_1, x_2, ldots) $. Suponemos que podemos linealizar alrededor de un cierto punto $ tilde { bf x} = ( tilde {x} _1, tilde {x} _2, ldots) $, lo que significa principalmente escribir la función en ese punto como una serie de Taylor.

Entonces, podemos determinar el Error gaussiano (máximo) en la vecindad de $ { bf tilde {x}} $.

$$ izquierda. Delta varphi right | _ { bf tilde {x}} = left. frac { parcial varphi} { parcial x_1} derecha | _ {( tilde {x} _1, , tilde {x} _2, , ldots)} ! ! ! ! cdot Delta x_1 + left. frac { parcial varphi} { parcial x_2} derecha | _ {( tilde {x} _1, , tilde {x} _2, , ldots)} ! ! ! ! cdot Delta x_2 + cdots $$

En esta fórmula calculas derivadas parciales $ frac { parcial varphi} { parcial x_i} $ con respecto a cada variable $ x_i $ y conecte los valores de las variables en el punto central $ { bf tilde {x}} $. La $ Delta x_i $ es la estimación del error para cada variable individual $ x_i $.

¿Cómo aplicamos eso a su problema donde ha instalado un implícito ¿ecuación? Dado que excluyó el enfoque de Monte-Carlo (que es el método habitual para este caso), sugiero la siguiente receta:

  1. Formular funciones explícitas $ a (x, y), b (x, y), ldots f (x, y) $, p.ej. $$ a = - frac {bxy + cy ^ 2 + dx + ey + f} {x ^ 2} $$
  2. Linealizar las funciones alrededor $ x_0, y_0 $. La $ x_0 $ se llama $ x $ en tu mesa, y respectivamente $ y_0 $ está en el $ y $-columna.
  3. Determinar $ Delta a, ldots, Delta f $ por diferenciación parcial.
  4. Complemento en $ Delta x $ y $ Delta y $ como también se indica en su tabla.

Análisis de errores y maniobras de corrección de la trayectoria de la órbita de transferencia lunar ☆, ☆☆

Para una sonda lunar retornable, este artículo estudia las características tanto de la órbita de transferencia Tierra-Luna como de la órbita de retorno. Sobre la base de la matriz de propagación de errores, se calcula la ecuación lineal para estimar la primera maniobra de corrección de la trayectoria (TCM) a mitad de camino. Se realizan simulaciones numéricas y se dan las características de la propagación del error en la órbita de transferencia lunar. Se discuten las ventajas, desventajas y aplicaciones de dos estrategias de TCM, y también se simula el cálculo del segundo TCM de la órbita de retorno en las condiciones en el momento de la reentrada.


Propagación de la incertidumbre de la órbita y análisis de sensibilidad con representaciones separadas

La mayoría de las aproximaciones para ecuaciones diferenciales estocásticas con entradas de alta dimensión no gaussianas sufren un aumento rápido (por ejemplo, exponencial) del costo computacional, un problema conocido como la maldición de la dimensionalidad. En astrodinámica, esto da como resultado una precisión reducida al propagar una función de densidad de probabilidad de estado de órbita. Este artículo considera la aplicación de representaciones separadas para la propagación de la incertidumbre de la órbita, donde los estados futuros se expanden en una suma de productos de funciones univariadas de estados iniciales y otros parámetros inciertos. Una generación precisa de representación separada requiere un número de muestras de estado que sea lineal en la dimensión de las incertidumbres de entrada. El costo de cálculo de una representación separada escala linealmente con respecto al recuento de la muestra, mejorando así la manejabilidad en comparación con métodos que sufren la maldición de la dimensionalidad. Además de discusiones detalladas sobre su construcción y uso en análisis de sensibilidad, este documento presenta resultados para tres casos de prueba de un satélite en órbita terrestre. Los dos primeros casos demuestran que la aproximación a través de representaciones separadas produce una solución manejable para propagar la incertidumbre del estado de la órbita cartesiana con hasta 20 entradas inciertas. El tercer caso, que en su lugar utiliza elementos equinocciales, reexamina un escenario presentado en la literatura y emplea el método propuesto para el análisis de sensibilidad para caracterizar más a fondo los efectos relativos de las entradas inciertas en el estado propagado.

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Error numérico en la implementación de variables universales [cerrado]

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Estoy tratando de implementar (en Python por ahora) la propagación de la órbita de bajo empuje para naves espaciales usando variables universales. Para un cuerpo central dado con el parámetro gravitacional $ mu $ y una órbita con el eje semi-mayor $ a $ y la posición inicial $ vec_0 $ y velocidad $ vec_0 $ en $ t = t_0 $ la posición para un tiempo dado viene dada por: $ vec = vec_0 f (s) + vec_0 g (s) $ y la velocidad por $ vec = vec_0 dot(s) + vec_0 dot(s) $

Donde $ f (s) = 1- left ( frac < mu> <| vec_0 |> derecha) s ^ 2 c_2 ( alpha s ^ 2) $ $ g (s) = t-t_0- mu s ^ 3c_3 ( alpha s ^ 2) $

Estoy calculando $ s $ usando el método de Newton y todo funciona bien para escenarios sin empuje. La órbita es elíptica y cerrada, parabólica para velocidades iniciales más altas, si elijo un $ vec_0 $, $ vec_0 $ y $ t_0 $ y propagar $ t $ hacia adelante.

Para casos con empuje donde cambiaría la velocidad en cada iteración

es necesario actualizar $ vec_0 $ y $ vec_0 $ cada vez, propague $ Delta t $ hacia adelante y repita en lugar de elegir las condiciones iniciales y solo propague $ t $ hacia adelante. En preparación para eso, elegí no agregar ninguna velocidad, por lo que ambos enfoques deberían producir los mismos resultados.

Aquí está mi problema: Incluso después de la primera iteración, las diferencias son grandes y el error aumenta rápidamente.

azul: condiciones iniciales fijas, propagando $ t $

rojo: propagación de las condiciones iniciales, fijo $ Delta t $

Pensé que podría resolver esto usando un algoritmo de integración más avanzado como Runge-Kutta e intenté calcular cada iteración en la menor cantidad de pasos posible, pero no pude transformar las ecuaciones para poder usar Runge-Kutta no es una EDO) y la reducción de los pasos no ayudó en absoluto.

¿Alguien puede ayudar a solucionar este problema o dar alguna pista de por qué este error es tan grande? ¡Gracias de antemano!


Usando módulos de utilidad¶

New_tle_kep_state¶

new_tle_kep_state se utiliza para convertir un TLE o un conjunto de elementos keplerianos en un vector de estado. Para convertir un TLE, haga una matriz a partir de la segunda línea del TLE. La matriz debe tener la forma:

  • tle [0] = inclinación (en grados)
  • tle [1] = ascensión recta del nodo ascendente (en grados)
  • tle [2] = excentricidad
  • tle [3] = argumento del perigeo (en grados)
  • tle [4] = anomalía media (en grados)
  • tle [5] = movimiento medio (en revoluciones por día)

Ahora llame a tle_to_state. Por ejemplo:

De manera similar, un conjunto kepleriano también se puede convertir en un vector de estado.

Teme_to_ecef¶

teme_to_ecef se utiliza para convertir coordenadas del marco TEME (marco inercial) al marco ECEF (marco fijo giratorio de la Tierra). El módulo acepta una lista de coordenadas del formulario [t1, x, y, z] and outputs a list of latitudes, longitudes and altitudes in Earth fixed frame. These coordinates can be directly plotted on a map.

The resulting latitudes and longitudes can be directly plotted on an Earth map to visualize the satellite location with respect to the Earth.


6. APPLICATIONS TO REAL SYSTEMS

We now apply our analytical theory to real circumbinary planetary systems. For that purpose, the Kepler-16, Kepler-34, Kepler-35, Kepler-38, Kepler-64 and Kepler-413 systems were selected, as they are currently believed to harbor only one planet in a circumbinary orbit. The systems are assumed to be coplanar, , and , while the rest of the system parameters were taken from the corresponding discovery papers (Doyle et al. 2011 Orosz et al. 2012 Welsh et al. 2012 Schwamb et al. 2013 Kostov et al. 2014). The systems were integrated over one analytical secular period and no other effects than Newtonian gravity were considered, as they were not expected to make a significant contribution to the systems under investigation (e.g., Chavez et al. 2015). Table 1 gives the mass parameters and orbital elements of each system.

Tabla 1. Masses and Orbital Elements for Kepler-16, Kepler-34, Kepler-35, Kepler-38, Kepler-64 and Kepler-413

System a1 (AU) a2 (AU) mi1
Kepler-16 0.6897 +0.0035 −0.0034 0.20255 +0.00066 −0.00065 0.333 +0.016 −0.016 0.22431 +0.00035 −0.00034 0.7048 +0.0011 −0.0011 0.15944 +0.00061 −0.00062
Kepler-34 1.0479 +0.0033 −0.0030 1.0208 +0.0022 −0.0022 0.220 +0.011 −0.010 0.22882 +0.00019 −0.00018 1.0896 +0.0009 −0.0009 0.52087 +0.00052 −0.00055
Kepler-35 0.8876 +0.0051 −0.0053 0.8094 +0.0041 −0.0044 0.127 +0.020 −0.021 0.17617 +0.00028 −0.00029 0.60345 +0.00100 −0.00102 0.1421 +0.0014 −0.0014
Kepler-38 0.949 0.249 <0.384 (95% conf.) 0.1469 0.4644 0.1032
Kepler-64 1.384 +0.079 −0.079 0.386 +0.018 −0.018 <0.532 (99.7% conf.) 0.1744 +0.0031 −0.0031 0.634 +0.011 −0.011 0.2117 +0.0051 −0.0051
Kepler-413 0.820 0.5423 0.21 0.10148 0.3553 0.0365

Figures 8 and 9 show the results for the six Kepler systems. Generally, the numerical results are in good agreement with the analytical estimates. Furthermore, one can see that for most planets the current state of eccentricities, indicated by a black horizontal line, is compatible with formation scenarios that predict initial orbits with low eccentricities after the gaseous phase. As in situ planetesimal accretion as well as gravitational collapse have practically been ruled out for most of the circumbinary planets discovered during the Kepler mission (e.g., Pelupessy & Portegies Zwart 2013 Lines et al. 2014), a fast disc driven migration with little time spent near resonances seems to be the most likely formation scenario for Kepler-16, Kepler-35, Kepler-38 and Kepler-64 (e.g., Kley & Haghighipour 2014).

Figura 8. Eccentricity against time for Kepler-16b, Kepler-34b and Kepler-35b. The red curve comes from the numerical integration of the full equations of motion, the green curve is our analytical estimates, the blue curve is the analytical secular solution, while the black line denotes the current value of the planetary eccentricity. The integration time is one planetary period for the left column and one analytical secular period for the right column.

Exceptions are Kepler-34 and Kepler-413, both with a higher planetary eccentricity of mi2 = 0.182 and mi2 = 0.1181, respectively. Looking at the relevant plots, it is clear that starting the planet on a circular orbit cannot produce a planetary orbit with eccentricities higher than 0.03 for Kepler-34b and 0.04 for Kepler-413b. Moreover, the main eccentricity contribution for both systems comes from short-period activity. This is to be expected, as the stellar masses of Kepler-34 have only around 2.5% difference, and the stellar eccentricity of the Kepler-413 is just 0.0365. As a result, the forced secular eccentricity, which is proportional to the difference between the masses of the stellar components and to the stellar eccentricity is very small. Therefore, either those two planets were formed on a non-circular orbit or, if they were initially circular, some dynamical event may have taken place and pumped up their eccentricity. For instance, an as yet undetected companion as well as an encounter with another star may have injected eccentricity into the planet's orbit. Such an interaction would also explain the slight misalignment of the orbital planes in Kepler-413. Another possible explanation for the elevated eccentricity of Kepler-34b is resonance trapping. If the planet's migration has not been fast enough, the planet may be trapped in a resonance which can cause a significant increase in its orbital eccentricity (Kley & Haghighipour 2014). In the case of Kepler-34b the 10:1 mean motion resonace with the stellar binary may have affected the evolution of the planetary eccentricity to some extent (Chavez et al. 2015).


Resumen

The simple but often neglected equation for the propagation of statistical errors in functions of correlated variables is tested on a number of linear and nonlinear functions of parameters from linear and nonlinear least-squares (LS) fits, through Monte Carlo calculations on 10 4 −4 × 10 5 equivalent data sets. The test examples include polynomial and exponential representations and a band analysis model. For linear functions of linear LS parameters, the error propagation equation is exact. Nonlinear parameters and functions yield nonnormal distributions, but their dispersion is still well predicted by the propagation-of-error equation. Often the error computation can be bypassed by a redefinition of the least-squares model to include the quantity of interest as an adjustable parameter, in which case its variance is returned directly in the variance-covariance matrix. This approach is shown formally to be equivalent to the error propagation method.


Steven L. Tomsovic

Quantum/wave chaos is an interdisciplinary branch of physics and mathematics which emerged in the second half of the 20th century. It finds application in an incredibly diverse set of research fields, systems, and problems such as: statistical nuclear physics and weak symmetry breaking, quantum dots, disordered electronic conductors, decoherence and fidelity studies, quantum computation, Riemann zeta- and L-functions, optical resonators, ultra-cold atoms in optical lattices, acoustics in crystals, underwater sound propagation, and the Dirac spectrum in non-Abelian gauge field backgrounds. The theoretical underpinnings of quantum/wave chaos are characterized by a number of new statistical and asymptotic methods whose common application in systems such as those cited above leads to strong links in their analysis and understanding despite their seeming to be totally unrelated a priori.

Critical early quantum chaos works include: i) Wigner’s introduction of random matrix theory for modeling slow neutron resonance statistical properties, which are strongly interacting many-body systems ii) Gutzwiller’s derivation of a trace formula, which expresses quantal (or modal) spectra as a sum over periodic classical orbits (or rays) for chaotic systems, iii) Bohigas, Giannoni, and Schmit’s conjecture that random matrix theory applies even to simple, fully chaotic systems (K-systems) iv) Berry and later Voros’ introduction of random plane waves for eigenstates, v) Heller’s scarring of eigenfunctions by short classical periodic orbits, and vi) Wegner and Efetov’s non-linear sigma models of disordered mesoscopic systems.

Over the years the research in our group has included: the random matrix analysis of time reversal and parity violation in strongly interacting nuclear systems analysis of the validity of using chaotic dynamics to construct quantum/wave dynamics (construction of heteroclinic orbit sums) use of transfer matrix methods for disordered, quasi-1D mesoscopic conductors the discovery of chaos-assisted tunneling the derivation of trace formulae valid for systems intermediate between integrability and chaos the application of periodic orbit theory and random matrix theory to Coulomb blockade peak height statistics fidelity, sensitivity-to-perturbation, and irreversibility studies application of semiclassical methods to derive properties of interacting-many electron ground states use of finite-time stability exponents for underwater sound propagation studies (finding branching or clustering behaviors) or locating small islands of regular motion in a dynamical system introducing methods for calculating Kolmogorov-Sinai entropies for interacting, many particle systems introduction of extreme value statistics for understanding eigenstates of chaotic systems studies of the interpretation of scanning gate microscopy experiments and introduction of random matrix theory into long range underwater sound propagation.

Professor of Physics

Oficina: Webster Physical Sciences 929
Phone: (509) 335-7207
Fax: (509) 335-7816
E-mail: tomsovic at wsu.edu

Research: Chaos, Semiclassical Mechanics, and Symmetry Violation


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